المدرج التكراري، والذي يُعرف أيضًا باسم “الهيستوغرام”، هو نوع من التمثيل البياني يُستخدم في الإحصاء لعرض توزيع البيانات بطريقة رسومية تساعد في فهم مدى تكرار أو شيوع القيم المختلفة داخل مجموعة من البيانات. يتكون المدرج التكراري من أعمدة مستطيلة، يتناسب ارتفاع كل واحدة منها مع عدد المرات التي تظهر فيها القيم ضمن فئة محددة.

يُعتبر هذا النوع من الرسومات مناسبًا بشكل خاص عندما تكون البيانات عددية أو كمية، مثل أطوال الطلاب، أوزان الحقيبة المدرسية، أعمار المشاركين في مسابقة رياضية، أو عدد الكتب التي يقرأها الطلاب في الشهر. يُظهر المدرج التكراري كيف تتوزع القيم ومدى تكرار كل مجموعة رقمية داخل مجموعة البيانات.

أجزاء المدرج التكراري

لفهم المدرج التكراري جيدًا، من الضروري التعرف على مكوناته الأساسية:

• المحور الأفقي (محور السينات): يُظهر هذا المحور القيم أو الفئات التي قُسّمت عليها البيانات. على سبيل المثال، إذا كنت تدرس أطوال الطلاب في الصف، قد يظهر المحور الأفقّي الفئات مثل: 100–110 سم، 111–120 سم، إلى آخره.
• المحور العمودي (محور الصادات): يُوضح هذا المحور عدد التكرارات أو عدد العناصر الموجودة في كل فئة من فئات المحور الأفقي. كما يُظهر مدى كثافة البيانات في كل فئة.
• الأعمدة أو المستطيلات البيانية: تمثل كل عمود أو مستطيل إحدى الفئات، ويعكس ارتفاع العمود عدد التكرارات في تلك الفئة المحددة.

ما الفرق بين الأعمدة في المدرج التكراري والعمود في التمثيل البياني العمودي؟

من المهم أن نميز بين المدرج التكراري والتمثيل البياني العمودي. في التمثيل البياني العمودي تكون الأعمدة مفصولة ويوجد بينها فراغ، لأن كل عمود يُمثل قيمة منفصلة، مثل عدد الطلاب في كل صف من الصفوف. أما في المدرج التكراري، فغالبًا تكون الأعمدة متلاصقة، لأن الفئات مستمرة ومتسلسلة عدديًا ولا توجد فواصل بينها، مثل أطوال أو أوزان أو أعمار.

كيفية إنشاء مدرج تكراري

لصنع مدرج تكراري بشكل صحيح، يمكن اتباع الخطوات التالية:

1. جمع البيانات: يجب أولًا تحديد البيانات التي سيتم تمثيلها. مثلًا، جمع أطوال جميع الطلاب في الصف الخامس.
2. تنظيم البيانات: ترتيب البيانات من الأصغر إلى الأكبر.
3. تقسيم البيانات إلى فئات: اختيار الفئات المناسبة التي تُستخدم في المحور الأفقي، مثل: 100–110 سم، 111–120 سم، وهكذا.
4. حساب التكرارات: عدّ عدد القيم الموجودة في كل فئة.
5. رسم المدرج: على ورقة بيانية أو باستخدام جهاز حاسوب، نرسم الأعمدة بناءً على الفئات والتكرارات.

أهمية استخدام المدرجات التكرارية

تساعد المدرجات التكرارية في تبسيط تحليل البيانات وتفسيرها، خصوصًا عندما تكون كبيرة أو معقدة. يمكن استخدامها للإجابة عن أسئلة مثل: ما هي الفئة الأكثر شيوعًا؟ هل توجد قيم شاذة أو غير معتادة؟ هل هناك توازن في توزيع البيانات أم يوجد تركيز في فئة معينة؟ علاوة على ذلك، يمكن استخدامها لمقارنة البيانات بين مجموعتين أو أكثر.

في عام 2022، استخدم فريق من العلماء المدرج التكراري لتحليل درجات الحرارة اليومية في إحدى المدن. ساعدهم المدرج التكراري على اكتشاف أن أكثر درجات الحرارة شيوعًا في شهر يوليو كانت بين 30 و35 درجة مئوية، مما ساعد على تحسين توقعات الطقس!

تطبيق في الحياة اليومية

يستخدم المدرج التكراري في مجالات كثيرة من الحياة اليومية، ومن أبرزها:

• في التعليم: يستخدمه المعلمون عند تحليل أداء الطلبة في الامتحانات، فيمكنهم معرفة مدى انتشار الدرجات في فئات معينة والتعرف على الطلاب الذين يحتاجون دعمًا إضافيًا.
• في الرياضة: يُستخدم لتحليل نتائج المباريات أو أوقات الجري للرياضيين لتحديد من هم في أفضل أداء.
• في التسوق: يمكن للمحلات التجارية استخدام المدرج التكراري لتحليل أيام الأسبوع التي تكون فيها المبيعات أفضل، مما يساعدهم على تنظيم الموظفين والعروض الترويجية.
• في العلوم: يُستخدم لتحليل نتائج التجارب أو مراقبة الظواهر الطبيعية مثل هطول الأمطار أو رصد الظواهر الفلكية.

أنواع توزيع البيانات التي تظهر في المدرج التكراري

من خلال مراقبة شكل الأعمدة في المدرج التكراري، يمكن التعرف على شكل توزيع البيانات، وهناك عدة أنواع معروفة من التوزيع:

• التوزيع المتماثل: يكون شكل المدرج مثل الجرس، حيث تزداد القيم تدريجيًا ثم تنقص بشكل متماثل.
• التوزيع المنحرف إلى اليمين: تكون معظم القيم صغيرة مع وجود عدد قليل من القيم الكبيرة.
• التوزيع المنحرف إلى اليسار: تكون معظم القيم كبيرة مع وجود عدد قليل من القيم الصغيرة.
• توزيع متعدد القمم: يظهر أكثر من ذروة، مما يدل على وجود أكثر من مجموعة مستقلة داخل البيانات.

أمثلة عملية مبسطة لطلاب المدارس

مثال 1: عدد كتب قرأها طلاب الصف السادس

لنفترض أن طلاب الصف السادس قاموا بقراءة عدد من الكتب خلال شهر معين، وقد حصلنا على البيانات التالية:

2، 3، 5، 7، 4، 3، 4، 5، 6، 4، 3، 2، 1، 5، 6، 7، 4، 4، 5، 3

أولًا، ننظم البيانات ونقسمها إلى فئات:

• 1–2 كتب
• 3–4 كتب
• 5–6 كتب
• 7–8 كتب

ثم نحسب التكرارات:

• 1–2 كتب: 3 طلاب
• 3–4 كتب: 9 طلاب
• 5–6 كتب: 6 طلاب
• 7–8 كتب: 2 طالبان

نرسم المدرج التكراري بناءً على هذه البيانات، حيث يكون ارتفاع الأعمدة متناسبًا مع عدد الطلاب في كل فئة.

مثال 2: أطوال طلاب الصف الثالث

لنفترض أن أطوال طلاب الصف الثالث تتراوح بين 100 سم و150 سم. بعد جمع البيانات وتنظيمها، نقسم الأطوال إلى فئات مثل:

• 100–110 سم
• 111–120 سم
• 121–130 سم
• 131–140 سم
• 141–150 سم

بعد حساب عدد الطلاب في كل فئة، يمكن بناء المدرج التكراري وفهم توزيع الأطوال داخل الصف، مما يساعد المعلم أو مرشد الصحة في تحديد الطلاب الذين يحتاجون للمزيد من المتابعة أو الدعم الصحي.

فوائد المدرج التكراري لتلاميذ المدارس

تعليم الطلاب كيفية استخدام المدرج التكراري له فوائد تعليمية كثيرة، منها:

• تطوير المهارات التحليلية: لأنه يعزز من قدرة الطالب على استنتاج النتائج من الرسوم البيانية.
• تعزيز مهارات القراءة الرقمية: حيث يتعلم الطالب قراءة البيانات الكمية بطريقة منظمة.
• فهم أفضل لمادة الرياضيات: من خلال ربط الأرقام والعمليات الرياضية بالمواقف الواقعية.
• تحسين التخطيط والتنظيم: لأن الطلاب يتعلمون كيف ينظمون البيانات ويفكرون بشكل منهجي.

أدوات حديثة لرسم المدرج التكراري

في العصر الحديث، توجد العديد من الأدوات التقنية التي يُمكن للطلاب استخدامها لرسم المدرج التكراري بسهولة، مثل برنامج Excel أو Google Sheets. تقوم هذه البرامج بحساب التكرارات تلقائيًا ورسم الأعمدة البيانية بدون الحاجة إلى استخدام ورقة وقلم. ومع ذلك، من المهم تعليم الطلاب الأساسيات يدويًا قبل الاعتماد على الأدوات التكنولوجية.

أخطاء شائعة يجب تجنبها

أحيانًا قد يرتكب بعض الطلاب والباحثين أخطاء في صناعة أو قراءة المدرج التكراري، مثل:

• عدم توحيد فئات البيانات: حيث تكون بعض الفئات 10 درجات وأخرى 20 درجة، مما يجعل التفسير غير دقيق.
• وجود فجوات بين الأعمدة: في حالة البيانات المستمرة، يجب أن تكون الأعمدة متلاصقة.
• استخدام فئات كثيرة جدًا أو قليلة: مما يؤثر على وضوح البيانات وتوزيعها.

علاقة المدرج التكراري بمواضيع رياضية أخرى

المدرج التكراري يُعتبر جزءًا من علم الإحصاء، وهو بدوره يرتبط بالمواضيع الرياضية الأخرى مثل:

• المتوسط الحسابي: من خلال المدرج التكراري يمكن حساب المتوسط بسهولة بالنظر إلى القيم والتكرارات.
• الوسيط والمنوال: يمكن التنبؤ بهما باستخدام موقع القيم الأكثر تكرارًا أو الأكثر توازنًا.
• الاحتمالات: يساعد المدرج التكراري على معرفة احتمالية وقوع حدث معين عند تكرار الاختبارات أو التجارب.

تمارين مقترحة للطلبة

فيما يلي بعض التمارين التي يمكن للطلاب حلّها لتطبيق ما تعلموه:

1. اجمع بيانات حول عدد ساعات مشاهدة التلفاز خلال الأسبوع لجميع أفراد عائلتك، ثم قسمها إلى فئات وارسم مدرجًا تكراريًا.
2. أسأل زملاءك في الصف عن عدد الحيوانات التي يملكونها في المنزل، وصمم مدرجًا تكراريًا بذلك.
3. راقب مدى تكرار درجات الحرارة اليومية خلال عشرة أيام في منطقتك وارسم مدرجًا تكراريًا.

المراجع

• الرياضيات للمرحلة الابتدائية – وزارة التعليم السعودية
• مبادئ الإحصاء المبسطة للأطفال – دار الفكر التعليمي
• Understanding Histograms – BBC Bitesize
• Introduction to Statistics – Khan Academy
• Excel for Kids: Easy Data Charts and Graphs – Microsoft Education Tools