يُعد إكمال المربع من المفاهيم الرياضية الأساسية التي تُستخدم على نطاق واسع في حل المعادلات التربيعية وتحليلها. هذه المهارة تُعتبر أداة قوية في جعبة الطالب لفهم خواص المعادلات التربيعية وكيفية تبسيطها وحلها بطرق مختلفة. تستند هذه التقنية إلى تحويل معادلة تربيعية عادية إلى صورة مربّع كامل، مما يسهل عملية الحل ويساعد على فهم أعمق لطبيعة المعادلات.

يهدف هذا المقال إلى شرح خطوات إكمال المربع بشكل مبسط وواضح، مع تقديم أمثلة متدرجة تناسب طلاب المرحلة الابتدائية وحتى المتقدمين في المرحلة الإعدادية. سيُعرض كل جزء بطريقة منظمة ومترابطة بدون القفز على المفاهيم الأساسية، لتكون مفهومة لجميع الطلاب من عمر 7 حتى 15 سنة.

ما هو الشكل العام للمعادلة التربيعية؟

الشكل العام للمعادلات التربيعية يكون كالتالي:

ax² + bx + c = 0

حيث:

• a: معامل الحد التربيعي أي الذي يضرب في x².
• b: معامل الحد الخطي أي الذي يضرب في x.
• c: الحد الثابت.

عندما نحاول حل هذه الأنواع من المعادلات، يمكننا استخدام عدة طرق منها: التحليل، القانون العام، إكمال المربع. لكن ما سنتعلمه هنا هو طريقة إكمال المربع بالتفصيل.

ما معنى “إكمال المربع”؟

يقصد بعبارة “إكمال المربع” إعادة كتابة طرف من المعادلة التربيعية على شكل مربع كامل لتسهيل عملية الحل. والمربع الكامل هو تعبير جبري ناتج عن ضرب قوس بنفسه مثل:

(x + a)² = x² + 2ax + a²

فإذا تمكنا من مطابقة هذا الشكل مع طرف من المعادلة، يمكننا الحل بسهولة تامة عن طريق الجذر التربيعي.

خطوات إكمال المربع خطوة بخطوة

سنشرح الآن خطوات إكمال المربع بطريقة منهجية. سنأخذ مثالاً بسيطاً خلال الشرح ونتدرج في الصعوبة لاحقًا:

الخطوة 1: اجعل معامل x² مساوياً لواحد

إذا لم يكن معامل x² مساوياً لواحد، نقسم المعادلة بأكملها على هذا المعامل. على سبيل المثال:

2x² + 8x + 5 = 0

نقسم كل الحدود على 2:

x² + 4x + (5÷2) = 0

الآن أصبح المعامل أمام x² هو 1، نستمر للخطوة التالية.

الخطوة 2: انقل الحد الثابت إلى الطرف الآخر من المعادلة

نطرح الحد الثابت من الطرفين لنبدأ بتكوين المربع الكامل:

x² + 4x = – (5÷2)

الخطوة 3: أضف مربع نصف معامل x إلى الطرفين

نأخذ معامل x، نقسمه على 2 ثم نُربّعه:

المعامل هو 4 → نصف المعامل = 2 → مربعه = 4

نضيف هذا العدد للطرفين:

x² + 4x + 4 = – (5÷2) + 4

x² + 4x + 4 = 3/2

الخطوة 4: اكتب الطرف الأيسر كمربع كامل

الطرف الأيسر يصبح:

(x + 2)² = 3/2

الخطوة 5: خذ الجذر التربيعي للطرفين

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين مع ملاحظة وجود حالتين موجبة وسالبة:

x + 2 = ±√(3/2)

الخطوة 6: حل المعادلة النهائية

نطرح 2 من الطرفين:

x = -2 ± √(3/2)

وهكذا نكون قد أتممنا الحل باستخدام إكمال المربع بنجاح.

هل تعلم؟ تُستخدم طريقة إكمال المربع أيضًا في الفيزياء لحساب مسار القذائف أو الأجسام المتساقطة بتأثير الجاذبية، حيث تعتمد الحركة الرأسية على معادلات تربيعية تُحل بهذه الطريقة.

مثال آخر بدون كسر

لنفترض المعادلة التالية:

x² + 6x + 5 = 0

لا حاجة لتقسيم إذ أن معامل x² هو 1.

ننقل الحد الثابت:

x² + 6x = -5

نحسب نصف معامل x: النصف هو 3 → مربعه هو 9

نضيف 9 للطرفين:

x² + 6x + 9 = -5 + 9

(x + 3)² = 4

نأخذ الجذر التربيعي:

x + 3 = ±2

x = -3 ± 2 أي:

• x = -1
• x = -5

متى نستخدم طريقة إكمال المربع؟

نستخدم طريقة إكمال المربع في الحالات التالية:

• عند عدم إمكانية تحليل المعادلة بسهولة.
• في استخراج معادلات رأس المنحنى التربيعي.
• لحل المعادلات التربيعية التي فيها كسور أو جذور.
• عند تحويل المعادلة لصيغة القياسية (Standard Form) أو صيغة الرأس (Vertex Form).

التطبيقات الواقعية لطريقة إكمال المربع

عندما نرسم دالة تربيعية مثل:

y = x² + 4x + 1

نحتاج إلى معرفة رأس المنحنى وموقعه في المستوى البياني. باستخدام إكمال المربع يمكننا إعادة كتابة الدالة على شكل:

y = (x + 2)² – 3

والآن يمكننا معرفة أن رأس المنحنى في النقطة (-2, -3) بسهولة، وهذه طريقة رائعة لتفسير المنحنيات في الهندسة التحليلية.

تطبيق عملي: تستخدم أقواس كرة القدم شكلاً مكافئاً، ويمكن تحديد شكلها بدقة باستخدام معادلات تربيعية محلولة بطريقة “إكمال المربع”.

نصائح عند استخدام طريقة إكمال المربع

• دائمًا تأكد من أن معامل x² هو 1 قبل البدء.
• كن دقيقًا عند حساب نصف معامل x وخاصة مع الكسور.
• دوّن خطواتك بوضوح وتدرّب على كتابة التعبير كمربع كامل.
• لا تنسَ أخذ الجذر التربيعي للطرفين مع أخذ الإشارة ±.

الفرق بين الحل بالتحليل وإكمال المربع

في التحليل، نحاول تحويل المعادلة إلى ضرب قوسين مثل:

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

لكن هذا لا ينجح دائمًا، لذا نلجأ لإكمال المربع، وهي تقنية عامة تنجح مع جميع المعادلات التربيعية مهما كانت معقدة.

صعوبة إكمال المربع مع الكسور

الكسور قد تجعل الأمر يبدو أكثر صعوبة، ولكن بقليل من التدريب تصبح عملية منظمة. مثلاً:

x² + (3/2)x = 5

نأخذ نصف (3/2) → (3/4) → مربعه = (9/16)، ثم نضيفه للطرفين.

(x + 3/4)² = 5 + 9/16 = (89/16)

بعد ذلك نأخذ الجذر التربيعي لنحصل على الحل.

التدريب مهم لإتقان إكمال المربع

إكمال المربع مهارة تحتاج إلى تدريب مستمر. ننصح الطلاب بحل عدة معادلات متنوعة، سواء سهلة أو صعبة، باستخدام هذه الطريقة. مع الوقت، يصبح الطالب قادرًا على تحويل أي معادلة تربيعية إلى مربع كامل بسهولة تامة.

كما يمكن استخدام البطاقات التعليمية أو البرامج الحاسوبية لتدريب الطالب على هذه المهارة بشكل تفاعلي، مما يُعزز التعلّم ويطوّر التفكير المنطقي.