يُعدّ حساب المثلثات أحد فروع الرياضيات المهمة التي تتعامل مع العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث وزواياه. يستخدم هذا الفرع من الرياضيات في العديد من التطبيقات في حياتنا اليومية وحتى في العلوم مثل الملاحة والهندسة والفيزياء. في هذا المقال سنشرح ثلاثة مفاهيم رئيسية في حساب المثلثات وهي: الجيب (Sine)، وجيب التمام (Cosine)، والظل (Tangent) بطريقة مبسطة تلائم طلاب المدارس من عمر 7 إلى 15 سنة.

أنواع المثلثات وأساسيات الزوايا

قبل أن نتعرف على الجيب وجيب التمام والظل، يجب أن نفهم بعض المفاهيم الأساسية. أولاً، المثلث هو شكل هندسي مكوّن من ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا. إذا كانت إحدى زوايا المثلث تساوي 90 درجة، فإننا نسميه مثلث قائم الزاوية. في المثلث القائم الزاوية، الضلع الأطول يُدعى “الوَتَر”، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة. أما الضلعان الآخران فيسميان “الضلعان القائمان”.

الزوايا تقاس بالدرجات، وهناك 360 درجة في الدائرة الواحدة. إذا رسمنا مثلثاً قائم الزاوية داخل دائرة، يمكننا الاستفادة من هذه العلاقات لنتعلم عن الجيب وجيب التمام والظل.

ما هو الجيب (Sine – الجيب)؟

الجيب هو نسبة رياضية تساعدنا على معرفة العلاقة بين زاوية وضلع من أضلاع المثلث القائم الزاوية. نستعمل الرمز sin لتمثيل الجيب في المعادلات. الجيب لزاوية حادة في مثلث قائم الزاوية يُحسب بالقانون التالي:

الجيب = طول الضلع المقابل للزاوية ÷ طول الوَتَر

على سبيل المثال، إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية، وزاوية مقدارها 30 درجة، وكان طول الضلع المقابل لها 4 سنتيمترات، وطول الوَتَر 8 سنتيمترات، فإن:

الجيب = 4 ÷ 8 = 0.5

هذا يعني أن الجيب للزاوية 30 درجة هو 0.5. وهي قيمة ثابتة يمكن التحقق منها باستخدام آلة حاسبة علمية أو جدول دوال مثلثية.

أمثلة مبسطة للجيب:

تخيل أنك تنظر إلى أعلى قمة جبل على مسافة أفقية معينة، الزاوية التي يصنعها خط النظر مع الأرض يمكن استخدامها لحساب ارتفاع الجبل باستخدام دالة الجيب.

عند إقلاع الطائرة، يمكن للطيار استخدام الزاوية التي ترتفع بها الطائرة مع الأرض لحساب ارتفاعها بعد فترة زمنية باستخدام دالة الجيب!

ما هو جيب التمام (Cosine – جيب التمام)؟

جيب التمام هو أيضاً نسبة رياضية في المثلث القائم الزاوية، ويرمز له بـ cos. بدلاً من استخدام الضلع المقابل، فإننا نستخدم الضلع “المجاور” للزاوية، أي الضلع الذي يجاور الزاوية ولا يكون هو الوَتَر. جيب التمام يُحسب بالعلاقة التالية:

جيب التمام = طول الضلع المجاور للزاوية ÷ طول الوَتَر

في نفس المثال السابق، لنفرض أن الضلع المُجاور للزاوية 30 درجة هو طوله 6 سنتيمترات، وكان طول الوَتَر 8 سنتيمترات، فإن:

جيب التمام = 6 ÷ 8 = 0.75

هذه القيمة تعني أن جيب التمام للزاوية 30 درجة هو 0.75، وهي أيضاً قيمة يمكن التحقق منها رياضيًا باستخدام الآلة الحاسبة أو الجداول المثلثية.

متى نستخدم جيب التمام؟

نستخدم جيب التمام عندما يكون الضلع المجاور معروفاً ونريد معرفة الزاوية أو طول الضلع الآخر. في الهندسة، يُستخدم جيب التمام لحساب أطوال الجسور، والزوايا بين الطرق، أو حتى في تصميم الألعاب الإلكترونية لتحديد الاتجاهات بين الأجسام.

مهندسو الطرق يستخدمون دالة جيب التمام لحساب الزوايا بين الطرق المنحنية لتصميم التقاطعات بطريقة آمنة!

ما هو الظل (Tangent – الظل)؟

الظل هو النسبة بين الجيب وجيب التمام. وهو يُمثل العلاقة بين الضلع المقابل والضلع المجاور للزاوية في المثلث القائم. الرمز المستخدم للظل هو tan، والقانون هو:

الظل = طول الضلع المقابل ÷ طول الضلع المجاور

في المثال أعلاه، إذا كان الضلع المقابل طوله 4 سنتيمترات، والمجاور طوله 6 سنتيمترات، فإن:

الظل = 4 ÷ 6 = 0.666…

تستخدم هذه النسبة كثيراً في التطبيقات التي تتطلب إيجاد زاوية معينة عند معرفة ضلعين في مثلث قائم. كما يمكن أيضًا حساب الظل مباشرة باستخدام الآلة الحاسبة إذا عرفنا الزاوية.

استخدامات الظل في الحياة:

يمكن استخدام دالة الظل لحساب ارتفاعات المباني من خلال قياس طول ظلها ومعرفة الزاوية التي تصنعها أشعة الشمس مع الأرض. هذه الطريقة كانت تُستخدم قديماً قبل وجود الأجهزة الحديثة!

كان المصريون القدماء يستخدمون طريقة حساب الظل لتحديد ارتفاع الأهرامات باستخدام دالة الظل وزاوية ميل الشمس!

العلاقة بين الجيب، وجيب التمام، والظل

هناك علاقة رياضية تربط بين الدوال المثلثية الأساسية الثلاث. فالظل هو حاصل قسمة الجيب على جيب التمام، أي:

tan(angle) = sin(angle) ÷ cos(angle)

هذه العلاقات تساعدنا في حل المسائل المعقدة وتُستخدم في المعادلات لتحديد قياسات مجهولة في المثلثات. من خلال هذه الدوال، يمكن بناء نماذج هندسية في الكمبيوتر، أو تحديد موقع قمر صناعي، أو حتى تصميم رسوم متحركة فيها حركة دقيقة.

جدول القيم الشائعة للدوال المثلثية

هناك قيم شهيرة معروفة لدوال الجيب وجيب التمام والظل لبعض الزوايا مثل 0°، 30°، 45°، 60°، و90°. هذه القيم يمكن استخدامها عند حل المسائل دون الحاجة لاستخدام الآلة الحاسبة كل مرة.

الجدول التالي يوضح بعض القيم:
– sin(0°) = 0, cos(0°) = 1, tan(0°) = 0
– sin(30°) = 0.5, cos(30°) = 0.866, tan(30°) = 0.577
– sin(45°) = 0.707, cos(45°) = 0.707, tan(45°) = 1
– sin(60°) = 0.866, cos(60°) = 0.5, tan(60°) = 1.732
– sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = غير معرّف

كيفية استخدام هذه الدوال في حل المشكلات

عند حل مسائل مثلثية، يمكن استخدام دالة الجيب أو جيب التمام أو الظل إذا كانت زاوية وضلع معروفين. وذلك لتحديد طول ضلع آخر أو قياس الزاوية. يمكن تلخيص خطوات الحل كالتالي:

  1. تحديد الزاوية المعطاة.
  2. تحديد الأضلاع الموجودة (الضلع المقابل، المجاور، الوتر).
  3. اختيار الدالة المناسبة (جيب، جيب التمام، أو ظل).
  4. وضع القيم في المعادلة.
  5. استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد الناتج أو إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد المجهول.

أمثلة تعليمية للأطفال

لنفترض أن هناك مثلث قائم في ملعب ووُضع عمود إنارة بطول 5 أمتار، والزاوية بين الأرض والشعاع الضوئي المصوب من الأعلى إلى الأرض كانت 60 درجة. يمكن استخدام دالة الجيب لحساب ظل العمود على الأرض.

مثال تطبيقي:

إذا كان ارتفاع مبنى 20 مترًا، وظل المبنى على الأرض طوله 11.5 مترًا، فإننا نريد حساب الزاوية بين الشمس وسطح الأرض.

نستخدم قانون الظل: tan(angle) = المقابل ÷ المجاور = 20 ÷ 11.5 ≈ 1.739

نستخدم الآلة الحاسبة لاستخراج الزاوية باستخدام الدالة العكسية للظل: angle = tan⁻¹(1.739) ≈ 60°

إذن، الشمس كانت تسقط بزاوية مقدارها 60 درجة تقريبًا.

نصائح لفهم الدوال المثلثية

  • دائمًا ارسم المثلث لتحديد الأضلاع والزوايا بوضوح.
  • تذكّر القوانين الثلاثة واستخدم الرمز الصحيح.
  • احفظ القيم الأساسية للزوايا الشهيرة.
  • استخدم الحاسبة العلمية للتأكد من القيم المعطاة.
  • تمرن على أمثلة بسيطة حتى تكتسب الثقة.

المراجع