ترتيب العمليات الحسابية هو مفهوم أساسي في علم الرياضيات يُعلّم في المراحل الدراسية الأولى، ويساعد التلاميذ على حل المسائل بشكل صحيح دون الوقوع في أخطاء. يُعنى ترتيب العمليات بتحديد القواعد التي تُستخدم عند وجود أكثر من عملية حسابية في مسألة واحدة، كتلك التي تتضمن الجمع، الطرح، الضرب، القسمة، أو استخدام الأقواس. فهم هذا الترتيب يُعد قاعدة أساسية لكل طالب، ويضمن له التعامل الصحيح مع المعادلات الحسابية المتنوعة، سواء في المدرسة أو في الحياة اليومية.
أهمية ترتيب العمليات
قد تتغير نتيجة العملية الحسابية إذا لم نلتزم بالترتيب الصحيح للعمليات. على سبيل المثال: إذا كان لدينا التعبير (2 + 3 × 4)، فهل نبدأ بالجمع أم بالضرب؟ إذا بدأنا بالجمع فسنحصل على (5 × 4 = 20)، أما إذا بدأنا بالضرب فسنحصل على (2 + 12 = 14). هنا تظهر أهمية ترتيب العمليات: فبدونها قد تكون الإجابات مختلفة وخاطئة من حيث المنطق الرياضي.
لذلك، يتعلم التلاميذ في المرحلة الابتدائية ترتيب العمليات لضمان التوصل إلى نتائج صحيحة ومنطقية. كما يُعتبر هذا الترتيب حجر الأساس الذي يُبنى عليه فهم أكبر لمفاهيم الجبر والهندسة لاحقاً.
ما هو ترتيب العمليات الحسابية؟
ترتيب العمليات هو قاعدة تُستخدم لتحديد أولويات العمليات الحسابية المختلفة في مسألة ما. إذا كانت مسألة رياضية تحتوي على أكثر من عملية، يتوجب علينا اتباع هذا الترتيب للوصول إلى الجواب الصحيح. الترتيب المتعارف عليه في الرياضيات هو:
- أولاً: العمليات داخل الأقواس
- ثانياً: عمليات الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين
- ثالثاً: عمليات الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين
يرمز البعض لهذا الترتيب باستخدام كلمات أو جُمل مساعدة مثل: “ق د ج ط”، حيث “ق” ترمز للأقواس، “د” للضرب والقسمة، و”ج ط” للجمع والطرح.
العمليات داخل الأقواس
عند ظهور أقواس في العملية الحسابية، يجب دائماً البدء بإجراء العمليات داخل الأقواس أولاً، مهما كان نوع العملية بداخلها. الأقواس تُستخدم لترتيب العمليات أو لتغيير أولوية العمليات العادية. على سبيل المثال:
في المسألة: (3 + 5) × 2، يجب أولاً جمع العددين داخل القوس (3 + 5 = 8)، ثم نضرب الناتج في 2: 8 × 2 = 16. أما في حالة عدم وجود القوس: 3 + 5 × 2، فإننا نبدأ بالضرب: 5 × 2 = 10، ثم نضيف 3 إلى الناتج: 3 + 10 = 13.
أمثلة على استخدام الأقواس:
- (6 + 2) × 3 = 8 × 3 = 24
- 7 + (5 × 4) = 7 + 20 = 27
- (9 – 3) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3
في البناء والهندسة، يتم استخدام الأقواس لتحديد أبعاد معينة للحسابات، فعند تصميم نافذة على شكل مربع وبداخلها دائرة، يجب إجراء العمليات داخل الأقواس أولاً لتحديد المساحات بدقة!
الضرب والقسمة
بعد إنهاء العمليات داخل الأقواس، ننتقل إلى عمليات الضرب والقسمة. هاتان العمليتان لهما نفس الأولوية في الترتيب، ولذلك يتم حلهما من اليسار إلى اليمين بحسب موقعهما في المسألة. أي أنه إذا جاءت عملية الضرب أولاً من جهة اليسار، نبدأ بها، وإذا جاءت القسمة نبدأ بها، وهكذا.
مثال: 20 ÷ 4 × 2
نبدأ بالقسمة أولاً: 20 ÷ 4 = 5، ثم الضرب: 5 × 2 = 10.
أمثلة:
- 8 × 5 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20
- 12 ÷ 3 × 2 = 4 × 2 = 8
- 6 × 3 ÷ 3 = 18 ÷ 3 = 6
الجمع والطرح
بعد الانتهاء من الضرب والقسمة، ننتقل إلى عمليات الجمع والطرح. وهاتان العمليتان أيضاً بنفس الأولوية، لذلك يتم تنفيذهما من اليسار لليمين. تماماً كما في الضرب والقسمة. لا يمكن تنفيذ عملية الطرح قبل الجمع إذا كانت الجمع على يسار المسألة.
مثال: 10 – 3 + 2
نبدأ بالطرح أولاً لأن الطرح هو على يسار المسألة: 10 – 3 = 7، ثم نضيف: 7 + 2 = 9.
أمثلة:
- 15 + 4 – 2 = 19 – 2 = 17
- 20 – 5 + 10 = 15 + 10 = 25
- 9 + 6 – 3 = 15 – 3 = 12
عند حساب التكلفة الإجمالية لمشتريات من متجر، يجب اتباع ترتيب العمليات: أولاً حساب خصومات (طرح)، وبعد ذلك إضافة قيمة الضرائب (جمع) للحصول على السعر النهائي!
أمثلة مركبة
لنستعرض الآن بعض الأمثلة التي تتضمن جميع العمليات الحسابية، لنوضح كيفية تطبيق ترتيب العمليات خطوة بخطوة:
مثال 1: (6 + 2) × (4 – 1)
نبدأ بحل الأقواس:
6 + 2 = 8، و4 – 1 = 3. الآن نضرب النتيجين: 8 × 3 = 24.
مثال 2: 10 + 3 × 2
نبدأ بالضرب: 3 × 2 = 6، ثم الجمع: 10 + 6 = 16.
مثال 3: (12 ÷ 3) + 5 × 2
نحل داخل القوس أولاً: 12 ÷ 3 = 4. ثم نحسب الضرب: 5 × 2 = 10. وأخيراً نجمع: 4 + 10 = 14.
أخطاء شائعة يجب الحذر منها
أحياناً يقع التلاميذ في بعض الأخطاء عند التعامل مع ترتيب العمليات، ومن بين هذه الأخطاء:
- البدء بالجمع قبل الضرب
- عدم حل الأقواس أولاً
- ترك العمليات تُحل من اليمين بدلًا من اليسار
- عدم التحقق من الترتيب الصحيح بعد حل مسألة طويلة
لذا، يجب على التلاميذ إعادة قراءة المسألة أكثر من مرة، وتحديد العمليات حسب الترتيب، ورسم خط تحت كل جزء بعد حله. كما يمكن استخدام الأقلام الملونة لتمييز العمليات.
أنشطة وتمارين تعليمية
يمكن للمعلمين والآباء مساعدة التلاميذ في تعلم ترتيب العمليات عن طريق تمارين تفاعلية. فمثلاً:
- استخدام بطاقات تحتوي على مسائل متعددة العمليات
- تمثيل المسائل عملياً باستخدام القطع التعليمية
- لعب ألعاب تعليمية على الحاسوب تعتمد على الإجابة السريعة على مسائل ترتيب العمليات
- تحدي بين التلاميذ لحل مسائل صحيحة بأقل وقت وبدون أخطاء
تطبيقات في الحياة اليومية
ترتيب العمليات لا يُستخدم فقط في الصفوف الدراسية بل يُعد مهارة حيوية للأطفال في حياتهم اليومية. فعند شراء عدة أغراض من المتجر، أو تقسيم النقود بين الأصدقاء، أو حتى عند طهي الطعام، كثيراً ما نحتاج لحسابات متعددة، ويجب تنفيذها حسب الترتيب الصحيح حتى نحصل على نتائج منطقية.
كما يُستخدم ترتيب العمليات في مجالات الرياضة، البرمجة، البناء، التصميم، وحتى في القياسات عند إجراء التجارب العلمية في المختبرات.
في البرمجة، يتم استخدام ترتيب العمليات لوضع أولويات تنفيذ الأوامر، فمثلاً عند كتابة معادلة لحساب الراتب الشهري بعد الخصم والضريبة، يجب تنفيذ عمليات الخصم أولاً ثم الضريبة بحسب ترتيب العمليات!
نصائح لإتقان ترتيب العمليات
من أجل إتقان ترتيب العمليات، يُنصح التلاميذ باتباع بعض النصائح المهمة:
- فهم القاعدة جيداً وحفظ ترتيب العمليات
- التدرب المستمر على أمثلة متنوعة
- استخدام الرسومات أو الجداول لتوضيح الخطوات
- التحقق دائماً من النتيجة النهائية
- طرح السؤال: “ما هي الخطوة الأولى التي يجب تنفيذها؟”
المراجع
- وزارة التعليم – دليل المعلم للرياضيات، المرحلة الابتدائية
- Oxford Primary Mathematics, Student Book, 2021
- Math is Fun – Order of Operations: https://www.mathsisfun.com/
- National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) – Math Standards
