الكسور هي طريقة للتعبير عن الأجزاء من الكل. فعندما نقسم شيئًا ما إلى أجزاء متساوية ونأخذ عددًا معينًا من هذه الأجزاء، نكون قد كوّنا كسرًا. على سبيل المثال، إذا قسنا كعكة إلى 4 أجزاء متساوية وأخذنا جزءًا واحدًا فقط، فإننا نمتلك ربع الكعكة ويعبّر عنه بالكسر 1/4. الكسر يتكوّن من بسط (العدد العلوي) ومقام (العدد السفلي). البسط يعبّر عن عدد الأجزاء التي نملكها أو نحتاجها، بينما المقام يعبّر عن عدد الأجزاء التي تم تقسيم الكل إليها.

الكسور تلعب دورًا مهمًا في حياتنا اليومية، مثل مشاركة الطعام أو قياس الوقت أو تحديد الأبعاد. يمكن استخدام الكسور لتوضيح كمية من شيء يمكن أن تكون أقل من واحد صحيح. ورغم أن الكسور تبدو بسيطة عند البداية، إلا أن التعامل معها يتطلب فهمًا جيدًا للعمليات الحسابية المختلفة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.

أنواع الكسور

يوجد للكسور أنواع مختلفة حسب خصائصها، وهي:

الكسور العادية

الكسور العادية هي النوع الأكثر شيوعًا الذي يُكتب على شكل بسط/مقام. مثال: 3/5. هذه الكسور قد تكون:

  • كسور بسيطة: بسطها أصغر من مقامها، مثل 2/3 أو 5/8.
  • كسور غير حقيقية: بسطها أكبر من أو يساوي مقامها، مثل 7/4 أو 9/9.
  • أعداد كسريّة: وهي أعداد تحتوي على جزء صحيح وجزء كسري، مثل 1 1/2 أو 3 2/5.

الكسور المكافئة

الكسور المكافئة هي كسور تبدو مختلفة لكنها تساوي نفس القيمة. على سبيل المثال، الكسر 1/2 مكافئ للكسر 2/4 أو 4/8 لأنهم جميعًا يساوون نصف. يمكن إيجاد الكسور المكافئة بضرب أو قسمة البسط والمقام على نفس الرقم (غير الصفر).

في صناعة البيتزا، إذا كُتب على العبوة أنها مقسمة إلى 8 أجزاء وكل شخص يأكل 2/8 من البيتزا، فهذا يعني أنه تناول ربع البيتزا، لأن 2/8 = 1/4. وهذا مثال عملي من الحياة اليومية يُظهر أهمية فهم الكسور!

 

العمليات الحسابية على الكسور

جمع الكسور

لجمع الكسور، يجب التأكد من أن لها نفس المقام. إذا كانت المقامات مختلفة، يجب أولاً توحيد المقام باستخدام المضاعف المشترك الأصغر، ثم يُجمع البسط ويبقى المقام كما هو. مثال:

1/4 + 1/4 = 2/4 أي نصف.

طرح الكسور

مثل الجمع، يجب توحيد المقام أولاً لطرح الكسور. بعد ذلك، يُطرح البسطان ويُبقى نفس المقام. مثال:

3/5 – 1/5 = 2/5.

ضرب الكسور

لضرب الكسور، نضرب البسط في البسط والمقام في المقام. مثال:

2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 بعد التبسيط.

قسمة الكسور

لقسمة كسرين، نُبقي الكسر الأول كما هو ثم نعكس الكسر الثاني (نقلبه) ونتبع عملية الضرب. مثال:

2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6.

تبسيط الكسور

تبسيط الكسر يعني إيجاد كسر مكافئ بسطه ومقامه أصغر عدد ممكن باستخدام القواسم المشتركة. على سبيل المثال:

6/8 تُبسط إلى 3/4 لأن العدد 2 هو القاسم المشترك بين 6 و8.

تحويل الكسور إلى أعداد عشرية

يمكن تحويل الكسر إلى عدد عشري عن طريق قسمة البسط على المقام. على سبيل المثال، 1/4 يساوي العدد العشري 0.25. يُستخدم هذا في الكثير من التطبيقات اليومية، مثل الحسابات في المتاجر أو في الرياضيات والفيزياء.

بعض الكسور تتحول إلى أعداد عشرية منتهية (مثل 1/2 = 0.5)، وبعضها تتحول إلى أعداد عشرية دورية (مثل 1/3 = 0.333…). الأعداد العشرية الدورية تستمر بلا نهاية لكنها تُعبّر عنها باستخدام خط فوق الرقم المتكرر.

مفهوم الأعداد العشرية

الأعداد العشرية هي طريقة أخرى لتمثيل الأجزاء من الوحدة، وتُكتب باستخدام الفاصلة العشرية (مثل 0.5 أو 1.25). الجزء على يسار الفاصلة يُعبّر عن العدد الصحيح، والجزء على اليمين يُمثّل الأجزاء العشرية من الواحد الصحيح.

كل رقم في العدد العشري له قيمة منزلية تعتمد على موقعه بعد الفاصلة:

  • المنزلة الأولى من جهة اليمين: الأعشار (1/10)
  • المنزلة الثانية: الأجزاء من مئة (1/100)
  • المنزلة الثالثة: الأجزاء من ألف (1/1000)

مثال: في العدد 3.47 الرقم 3 هو عدد صحيح، 4 هو 4 أعشار، و7 هو 7 أجزاء من مئة.

مقارنة وترتيب الأعداد العشرية

لمقارنة الأعداد العشرية، نُقارن أولًا الجزء الصحيح، وإذا تساوى نُواصل مقارنة الأجزاء العشرية حسب المنازل من اليسار لليمين. مثال:

0.8 > 0.75 لأن 8 أعشار أكبر من 7 أعشار و5 أجزاء من مئة.

يسهل ترتيب الأعداد العشرية من الأصغر إلى الأكبر أو العكس باستخدام هذا المنهج أيضًا، وتُستخدم هذه الطريقة في ترتيب الدرجات أو النقاط في المسابقات.

العمليات الحسابية على الأعداد العشرية

الجمع والطرح

يُجرى جمع وطرح الأعداد العشرية بضبط الفواصل العشرية فوق بعضها البعض وجمع الأرقام من اليمين إلى اليسار. يُمكن إضافة أصفار يسارية عند الحاجة لتوحيد الأطوال. مثل:

2.5 + 3.75 = 6.25

الضرب

عند ضرب الأعداد العشرية، يتم تجاهل الفاصلة أولاً، ثم إجراء الضرب كأعداد صحيحة، وبعدها نُعد المنازل العشرية من كلا العددين ونُعيد الفاصلة بعد الناتج بهذا العدد. مثال:

1.2 × 0.5 = 0.60

القسمة

لقسمة عدد عشري على عدد عشري آخر، نحول المقسوم عليه إلى عدد صحيح بتحريك الفاصلة ثم نقوم بعملية القسمة بالشكل المعتاد مع تحريك فاصلة الناتج حسب التحويل. مثال:

2.5 ÷ 0.5 = 5

علاقة الكسور بالأعداد العشرية

الكسور والأعداد العشرية هما وجهان لعملة واحدة، وكلاهما يُظهر مقدار الأجزاء من كلٍّ كامل. يمكن التحويل بين الشكلين حسب الحاجة. فبعض المواقف تتطلب استخدام الأعداد العشرية، مثل التعاملات المالية، بينما يُفضل استخدام الكسور أحيانًا، مثل وصف جزء من شيء ملموس كقطعة كعكة.

تحويل عدد عشري إلى كسر: نحول العدد إلى كسر عشري مثل 0.25 = 25/100 ثم نُبسطه ليصبح 1/4.

تحويل كسر إلى عدد عشري: نقوم بقسمة البسط على المقام، مثل 3/5 = 0.6.

تطبيقات حياتية للكسور والأعداد العشرية

الكسور والأعداد العشرية تُستخدم في حياتنا اليومية بشكل مستمر. مثلاً:

  • في الطهو: يُستخدم نصف الكوب أو ربع ملعقة كمقادير.
  • في المال: إذا كان لديك 0.75 جنيه، فأنت تملك ثلاثة أرباع الجنيه.
  • في الرياضة: تُحسب نتائج اللاعبين بأرقام عشرية تُعبر عن تقدم أو تأخر بسيط.
  • في الهندسة والبناء: يتم قياس الأبعاد بدقة باستخدام الكسور أو الأعداد العشرية.

مهارات ضرورية للتلاميذ

من المهم أن يكتسب التلاميذ مهارات متعددة في التعامل مع الكسور والأعداد العشرية مثل:

  • تبسيط الكسور بطريقة صحيحة.
  • تحويل الكسور إلى أعداد عشرية والعكس.
  • استخدام العمليات الحسابية الأساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة.
  • التمييز بين الكسور المكافئة وغير المكافئة.

كل هذه المهارات تُعزز التفكير التحليلي والدقة الحسابية، مما يُساعد التلاميذ في جميع المراحل القادمة من تعلم الرياضيات ويدعم استخدامهم لهذه المفاهيم في الحياة العملية.

المراجع

  • وزارة التربية والتعليم – كتاب الرياضيات للمرحلة الابتدائية.
  • ناشيونال جيوغرافيك كيدز – قسم العلوم والرياضيات.
  • Oxford School Mathematics: Primary Years Curriculum.
  • BBC Bitesize: Fractions and Decimals for KS2 Students.
  • Math is Fun – www.mathsisfun.com.