الزوايا الخارجية في المضلعات

الزوايا الخارجية في المضلعات هي من المفاهيم الأساسية في علم الهندسة والتي تُدرّس عادة في المدارس الابتدائية والمتوسطة. هذا المفهوم يساعد الطلاب على فهم الشكل الخارجي للمضلعات وخصائصها الرياضية. تُعتبر الزوايا الخارجية أداة مهمة في الحسابات الهندسية وتساعد في حل العديد من المسائل التي تتعلق بالمضلعات المختلفة، سواء أكانت مثلثات أو رباعيات أو أشكال هندسية ذات عدد أكبر من الأضلاع. في هذا المقال، سوف نغوص في تفاصيل هذه الزوايا، ونتعرف على خصائصها وكيف نحسبها ونوظفها في الحياة اليومية.

ما هي الزوايا الخارجية؟

الزاوية الخارجية هي الزاوية التي تتكون عندما نمد أحد أضلاع المضلع إلى الخارج، وتُقاس الزاوية بين هذا الامتداد والضلع المجاور. بمعنى آخر، عندما نرسم زاوية عند كل رأس من رؤوس المضلع بحيث تكون مجاورة للزاوية الداخلية وتشكل معها خطًا مستقيمًا، فإن هذه الزاوية هي الزاوية الخارجية. الزوايا الخارجية تُقاس من الاتجاه الخارجي للمضلع ودائمًا ما تقع خارج الشكل الهندسي.

كل زاوية خارجية لها زاوية داخلية مقابلة في المضلع، وعندما نجمعهما معًا نحصل دائمًا على 180 درجة، لأن الزاويتين تكونان على خط مستقيم وتمثلان زاويتين متجاورتين على استقامة واحدة. هذا يعني أن:

الزاوية الخارجية = 180° – الزاوية الداخلية

قانون مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع

أحد أهم القوانين المتعلقة بالزوايا الخارجية هو أن مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع، سواء كان منتظمًا أو غير منتظم، هو دائمًا 360 درجة. وهذا يعني أنه إذا مررنا حول المضلع وقسنا جميع الزوايا الخارجية بالتتابع، فإن المجموع سيكون 360°. هذا القانون ينطبق على جميع أنواع المضلعات، مهما كان عدد أضلاعها.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا مضلع منتظم له 6 أضلاع (سداسي)، فإن كل زاوية خارجية فيه تساوي:

360° ÷ 6 = 60°

وإذا كان المضلع غير منتظم، فإن الزوايا الخارجية لا تتساوى، ولكن مجموعها يبقى دائمًا 360 درجة. هذا ما يجعل هذا القانون من القوانين الثابتة والمهمة في دراسة المضلعات.

في تصميم إشارات المرور ذات الشكل الثماني (مثلاً: إشارة التوقف “STOP”)، يتم استخدام قانون الزوايا الخارجية لضمان أن الإشارة متوازنة من كل الجوانب وأن كل زاويتها الخارجية تساهم بزاوية معينة ليُكمل المجموع 360°. هذا يساعد في ثبات الشكل وتماسكه.

حساب الزوايا الخارجية في المضلع المنتظم

المضلع المنتظم هو مضلع جميع أضلاعه متساوية وكل زواياه متساوية أيضًا، سواء كانت داخلية أو خارجية. في هذا النوع من المضلعات، يمكننا بسهولة حساب قياس كل زاوية خارجية باستخدام القانون التالي:

قياس الزاوية الخارجية = 360° ÷ عدد الأضلاع

على سبيل المثال، للمضلع الخماسي المنتظم (له 5 أضلاع)، تكون الزاوية الخارجية الواحدة:

360° ÷ 5 = 72°

وهكذا، يمكن استخدام هذا القانون البسيط لتحديد قياس الزوايا الخارجية في أي مضلع منتظم مثل المثلث المتساوي الأضلاع، المربع، السداسي المنتظم، إلخ.

الفرق بين الزوايا الداخلية والخارجية

الزوايا الداخلية والخارجية هما نوعان مختلفان من الزوايا يمكن أن نلاحظهما في أي مضلع. الزاوية الداخلية تقع داخل المضلع وتشكل الزاوية بين ضلعين متجاورين. بينما الزاوية الخارجية تتشكل عند إطالة ضلع من الأضلاع خارج الشكل، وتشكل الزاوية مع الضلع المجاور له.

العلاقة بين الزاوية الداخلية والخارجية في المضلع الواحد هي علاقة تكاملية، أي أن مجموعهما يساوي 180 درجة. وهذا يمكن التعبير عنه رياضيًا كما ذكرنا سابقًا:

الزاوية الخارجية = 180° – الزاوية الداخلية

هذا يجعل من السهل التبديل بين القيمتين عند الحاجة حسب نوع الحساب المطلوب في المسائل الهندسية.

مثال توضيحي

إذا كانت الزاوية الداخلية في مضلع منتظم تساوي 120 درجة، فإن الزاوية الخارجية ستكون:

الزاوية الخارجية = 180° – 120° = 60°

وباستخدام قانون مجموع الزوايا الخارجية، إذا قسمنا 360 على 60، سنحصل على عدد الأضلاع:

360° ÷ 60° = 6

إذن المضلع هنا هو سداسي منتظم.

أهمية الزوايا الخارجية في الحياة العملية

لا يقتصر استخدام الزوايا الخارجية على الدروس النظرية فقط، بل تُستخدم في الحياة اليومية والعديد من المهن مثل الهندسة المعمارية، تصميم الطرق، وصناعة الأثاث. على سبيل المثال، عند تصميم طاولة متعددة الأضلاع أو بناء هيكل هرمي، يجب أن يعرف المصمم الزوايا الخارجية لكي يخطط الأضلاع والزوايا بطريقة صحيحة ومتوازنة.

كذلك، في تصميم الأرصفة التي تلتف حول الزوايا أو في صناعة إطارات النوافذ والأبواب متعددة الأضلاع، يجب على المهندس أن يحدد الزوايا الخارجية بدقة لضمان التكامل الهندسي والاستقرار.

عند تصميم الأقمار الصناعية، يتم استخدام مفهوم الزوايا الخارجية لتحديد الالتفاف الأمثل لألواح الطاقة الشمسية حول جسم القمر الصناعي بحيث يضمن كل لوح التوجه إلى أشعة الشمس بزاوية محسوبة دقيقة، ويساهم في إمداد مستمر للطاقة.

التطبيقات المدرسية والزوايا الخارجية

في برامج الرياضيات في المدارس الابتدائية والمتوسطة، تُدرّس الزوايا الخارجية ضمن موضوعات المضلعات والهندسة. وتشمل الأنشطة التعليمية ما يلي:

• رسم المضلعات المنتظمة وغير المنتظمة وحساب الزوايا الخارجية لكل منها.
• تصميم أشكال هندسية باستخدام أدوات الرسم مثل المنقلة والمسطرة وقياس الزوايا الخارجية بدقة.
• حل مسائل تعتمد على قانون مجموع الزوايا الخارجية (360 درجة).
• مقارنة الزوايا الداخلية والخارجية في نفس المضلع وفهم العلاقة بينها.

هذه الأنشطة تساعد الطلاب على تعزيز التفكير الهندسي واكتساب مهارات رياضية عملية يمكن أن تُستخدم لاحقًا في المراحل التعليمية التالية أو حتى في الحياة اليومية.

أمثلة منوعة على الزوايا الخارجية

فيما يلي بعض الأمثلة التي توضح كيفية استخدام وفهم الزوايا الخارجية في المضلعات:

مثال 1:

كم تساوي الزاوية الخارجية لمضلع منتظم له 8 أضلاع؟

نستخدم القانون: 360 ÷ عدد الأضلاع = الزاوية الخارجية.

360 ÷ 8 = 45 درجة

مثال 2:

إذا كانت الزاوية الداخلية لمضلع منتظم تساوي 150 درجة، فما عدد أضلاعه؟

أولاً نحسب الزاوية الخارجية: 180 – 150 = 30 درجة.
ثم نقسم 360 على الزاوية الخارجية: 360 ÷ 30 = 12.

إذن عدد أضلاعه هو 12

مثال 3:

مضلع له زوايا خارجية كالتالي: 40°، 60°، 90°، 80°، 90°. هل هو مضلع صحيح؟

نجمع الزوايا: 40 + 60 + 90 + 80 + 90 = 360 درجة، وبالتالي هو مضلع صحيح.

نصائح عند دراسة الزوايا الخارجية

عند دراسة الزوايا الخارجية، تذكّر النصائح التالية:

• استخدم المسطرة والمنقلة بدقة عند القياس والرسم.
• تأكد دائمًا من أن مجموع الزوايا الخارجية لمضلع يعادل 360 درجة.
• اعرف العلاقة بين الزاوية الداخلية والخارجية، فهذا يسهل التحويل بينهما.
• في المضلع المنتظم، إذا عرفت عدد الأضلاع، يمكنك بسهولة إيجاد الزوايا الخارجية.
• مارس التمارين المختلفة للتأكد من فهمك العميق للمفهوم.

المراجع

• وزارة التربية والتعليم – دليل الرياضيات للمرحلة الابتدائية والمتوسطة.
• كتاب “الرياضيات البسيطة للمبتدئين” – دار النهضة، 2021.
• د. سامي الحاج – “مبادئ الهندسة للأطفال”، 2020.
• www.khanacademy.org – قسم الهندسة والهندسة الإقليدية.
• www.mathsisfun.com – Polygons and Exterior Angles