علم الاحتمالات هو أحد فروع الرياضيات الذي يهتم بدراسة فرص وقوع الأمور، أو ما يعرف بـ “احتمالات” حدوث حدث معين. يعتبر هذا العلم من المواضيع الأساسية في الرياضيات، ويُستخدم في مجالات عديدة مثل العلوم، والاقتصاد، والصحة، وحتى الألعاب. ومن بين المفاهيم المهمة في هذا السياق هو “احتمال وقوع حدثين مشتركين”، أي ما يحدث عندما نحاول معرفة احتمال وقوع حدثين في نفس الوقت، كأن نرمي حجر نرد ونسحب بطاقة من مجموعة بطاقات.

لفهم هذا المفهوم بشكل جيد، من المفيد أولاً أن نتعرف على ما هو الحدث في علم الاحتمالات. الحدث هو أي نتيجة يمكن أن تحدث نتيجة لتجربة عشوائية. على سبيل المثال، إذا قمنا برمي حجر نرد، فإن النتيجة يمكن أن تكون 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6. كل رقم يُعتبر حدثًا ممكنًا.

أنواع الأحداث في الاحتمالات

قبل فهم احتمال وقوع حدثين مشتركين، من المهم أن نعرف الأنواع المختلفة للأحداث:

• الأحداث المستقلة: هما حدثان لا يؤثر أحدهما على الآخر. على سبيل المثال، إذا رميت قطعة نقود ورميت حجر نرد في نفس الوقت، فإن نتيجة قطعة النقود (وجه أو كتابة) لا تؤثر أبدًا على نتيجة حجر النرد (1 إلى 6).
• الأحداث غير المستقلة (المترابطة): وهما حدثان يؤثر أحدهما على الآخر. مثلاً، إذا سحبنا بطاقة من مجموعة ثم سحبنا بطاقة أخرى دون إرجاع الأولى، فإن النتيجة الثانية تتأثر بالأولى لأن عدد البطاقات تغيّر.

ما المقصود باحتمال وقوع حدثين مشتركين؟

عندما نتحدث عن “احتمال وقوع حدثين مشتركين”، فإننا نعني بذلك احتمال أن يتحقق الحدث الأول AND الحدث الثاني في نفس الوقت. ويُكتب هذا رياضياً باستخدام الرمز (P(A and B ليدل على احتمال وقوع الحدث A والحدث B معاً.

ويعتمد حساب هذا الاحتمال المشترك على نوع الحدثين: هل هما مستقلان أم مترابطان؟

1. احتمال وقوع حدثين مشتركين مستقلين

إذا كان الحدثان مستقلين، فإن احتمال وقوع الحدثين معًا يُحسب بضرب احتمال الحدث الأول في احتمال الحدث الثاني:

القاعدة: إذا كان الحدثان A و B مستقلين، فإن:

P(A and B) = P(A) × P(B)

مثال على ذلك: إذا رميت قطعة نقود، فما احتمال أن تحصل على “وجه”، وفي الوقت ذاته، تحصل على الرقم 3 عند رمي حجر نرد؟

معطياتنا كالتالي:

• احتمال الحصول على “وجه” = 1/2
• احتمال الحصول على الرقم 3 على حجر النرد = 1/6

إذن:

P(وجه and 3) = 1/2 × 1/6 = 1/12

من التطبيقات الواقعية لهذا النوع من الاحتمالات هو في ألعاب الحظ مثل السحب على الجوائز، حيث يُستخدم حساب احتمال الفوز إذا تم سحب بطاقة عشوائية ثم دحرجة حجر نرد لتحديد الفائز.

2. احتمال وقوع حدثين مشتركين غير مستقلين

إذا كان الحدثان غير مستقلين، أي أن وقوع واحد منهما يؤثر في الآخر، فنستخدم قاعدة أخرى لحساب الاحتمال المشترك:

القاعدة: إذا كان الحدثان A و B غير مستقلين، فإن:

P(A and B) = P(A) × P(B بعد وقوع A)

وهذا يعني أن نحسب احتمال وقوع الحدث الأول، ثم نضربه في احتمال وقوع الحدث الثاني بشرط أن الأول قد حدث.

مثال على ذلك: لديك كيس يحتوي على 5 كرات حمراء و3 كرات زرقاء. إذا سحبت كرة واحدة، ثم كرة ثانية دون إرجاع الأولى، فما احتمال أن تكون الكرتان اللتان سحبتهما حمراء وزرقاء على التوالي؟

في البداية:

• احتمال سحب كرة حمراء = 5/8
• بعد سحب كرة حمراء، يصبح عدد الكرات 7، والكرات الزرقاء ما زالت 3. إذن احتمال سحب كرة زرقاء بعد الحمراء = 3/7

إذن:

P(حمراء ثم زرقاء) = 5/8 × 3/7 = 15/56

الاختلاف بين (أو) و (و) في الاحتمالات

من المهم التفريق بين احتمال وقوع حدثين معًا (AND أو “و”) واحتمال وقوع أحدهما فقط (OR أو “أو”). فعندما نقول “و” فنحن نعني أن الحدثين يجب أن يتحققا معًا مثلًا “أن يسقط حجر نرد على الرقم 3 ووجه قطعة النقود يكون وجه”. أما “أو” فتعني أن أحد الحدثين (أو كلاهما) يمكن أن يحدث. هذا موضوع آخر في علم الاحتمالات يُعرف باسم “احتمال وقوع حدثين بديلين”.

الرسم البياني وتمثيل الأحداث المشتركة

من الأساليب المفيدة لتمثيل احتمال وقوع حدثين مشتركين هو استخدام مخططات فن (Venn Diagrams). حيث نرسم دائرتين لكل من الحدثين، ويكون الجزء المشترك بين الدائرتين هو الحدث المشترك، أي حيث تقع A و B معًا.

يمكن أيضًا استخدام الجداول ومربعات الاحتمال لتبسيط حسابات الأحداث المستقلة كأن ندرج كل الاحتمالات الممكنة ونحدد أي منها يحقق الشرط المطلوب.

استخدام القانون العام للأحداث

يوجد قانون عام يمكن استخدامه لحساب احتمال حدوث حدثين A و B معًا:

القانون العام:

P(A and B) = P(A) × P(B | A)

ويُقرأ “P(B | A)” كـ “احتمال وقوع B بعد تحقق A”، ويستخدم هذا القانون مع جميع أنواع الأحداث، سواء كانت مستقلة أو غير مستقلة.

أمثلة تطبيقية مختلفة

مثال 1: رمي عملة وحجر نرد

ما احتمال الحصول على “كتابة” عند رمي قطعة نقود، وفي نفس الوقت الحصول على الرقم 5 عند رمي حجر نرد؟

P(كتابة and 5) = P(كتابة) × P(5) = 1/2 × 1/6 = 1/12

مثال 2: سحب كرتين من مجموعة بطاقات

في صندوق توجد 10 بطاقات: 6 خضراء و4 زرقاء. إذا تم سحب بطاقتين واحدة بعد الأخرى دون إرجاع، ما احتمال أن تكون البطاقة الأولى خضراء والثانية زرقاء؟

P(خضراء ثم زرقاء) = 6/10 × 4/9 = 24/90 = 4/15

مثال 3: الاحتمال من الحياة اليومية

إذا كان احتمال أن تمطر في يوم معين هو 30%، واحتمال أن تنسى مظلتك في نفس اليوم هو 10%، فما احتمال أن تمطر وتنسى مظلتك (بافتراض أن الحدثين مستقلان)؟

P(تمطر and تنسى المظلة) = 0.30 × 0.10 = 0.03 أو 3%

في علم الإحصاء يستخدم الأطباء حساب احتمال حدوث مرضين معًا لتحديد الخطورة المشتركة على صحة المريض، وهو مماثل لاحتمال وقوع حدثين في نفس الوقت.

تمارين وتفكير

تساعد التمارين على ترسيخ القواعد وفهم الفكرة بشكل أعمق. إليك بعض الأسئلة التي يمكن تجربتها:

1. رميت قطعة نقود وحجر نرد، ما احتمال أن تظهر “وجه” ويحصل رقم زوجي؟
2. في كيس يوجد 5 كرات حمراء و5 بيضاء، ما احتمال سحب كرتين بيضاء الواحدة بعد الأخرى دون إرجاع؟
3. ما احتمال أن تختار من صندوق بطاقة تحمل رقمًا فرديًا، وتختار أخرى تحمل رقماً زوجياً إذا كانت بدون إرجاع؟

التمرين المنتظم على حساب الاحتمالات يجعل الطلاب أكثر قدرة على التفكير المنطقي، ويطوّر من مهاراتهم في التحليل والتنبؤ. ويمكن استخدام هذه المهارات في الألعاب، والتجارب العلمية، وحتى في اتخاذ القرارات.

المراجع

• العبيدي، سليم (2020). مبادئ علم الاحتمالات. دار الكتاب الجامعي.
• وزارة التربية والتعليم – كتاب الرياضيات للصف السادس الابتدائي (2022).
• خليل، هدى (2018). الرياضيات وتطبيقاتها الواقعية. دار الهدى للنشر.
• Probability for Kids – Math is Fun. Retrieved from www.mathsisfun.com
• Khan Academy (2023). Introduction to Probability. Retrieved from www.khanacademy.org