حجم ومساحة السطح للموشور

حجم ومساحة السطح للموشور

يُعد فهم حجم ومساحة السطح لأشكال المجسمات مثل الموشور خطوة مهمة في تعلم الرياضيات للأطفال في المرحلة الابتدائية. يساعد هذا المفهوم على تطوير التفكير الفضائي والتصوري لدى الأطفال، كما يُمكّنهم من الربط بين الرياضيات والعالم الحقيقي من حولهم. في هذا المقال سنتناول بشكل تفصيلي مفهوم الموشور، أنواعه، كيفية حساب حجمه ومساحة سطحه، وسنعرض تطبيقات عملية تسهم في تعزيز الفهم النظري من خلال أمثلة يومية من الحياة الواقعية.

ما هو الموشور؟

الموشور هو مجسم هندسي ثلاثي الأبعاد يتكون من قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين، ويكون الشكل بين القاعدتين مكوناً من أوجه جانبية تكون مستطيلات أو مربعات. تُسمّى هذه الأوجه الجانبية بالأوجه الجانبية للموشور. أما القاعدتان فيمكن أن تكونا مثلثتين أو مربعتين أو خماسيتي الأضلاع أو ذات أي شكل مضلع آخر.

عند تسمية الموشور، ننظر إلى شكل قاعدته. فعلى سبيل المثال، إذا كانت قاعدته مثلثة يُسمّى “موشور ثلاثي”، وإن كانت القاعدة مربعة يُسمّى “موشور رباعي”، وهكذا.

خصائص الموشور:

1. يحتوي على قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين
2. جميع الأوجه الجانبية تكون مستطيلات أو مربعات
3. جميع الزوايا بين القاعدة والوجه الجانبي قائمة في الموشورات القائمة

أنواع الموشورات

تصنّف الموشورات إلى نوعين رئيسيين هما:

1. الموشور القائم

في هذا النوع، تكون الحواف الجانبية عمودية على القاعدتين، وتكون الأوجه الجانبية عبارة عن مستطيلات. هو النوع الأكثر شيوعًا في دروس الرياضيات، ويسهل التعامل معه عند حساب الحجم ومساحة السطح.

2. الموشور المائل

يتميز بأن حوافه الجانبية غير عمودية على القاعدة، ولهذا فإن شكله مائل. بالرغم من كونه أقل ظهوراً في مناهج التعليم الأساسية، إلا أن مبدأ حساب الحجم له يبقى نفسه طالما أن القاعدة والمسافة العمودية بين القاعدتين معروفة.

حساب حجم الموشور

لحساب حجم أي موشور، نحتاج إلى قاعدته وارتفاعه. تُحسب قاعدة الموشور حسب شكلها الهندسي. الصيغة العامة لحجم أي موشور هي:

حجم الموشور = مساحة القاعدة × الارتفاع

مثال 1: موشور ثلاثي

إذا كانت القاعدة مثلثاً، نحسب مساحة المثلث أولاً ثم نضربها في ارتفاع الموشور.

حجم الموشور الثلاثي = (½ × طول القاعدة × الارتفاع العمودي للمثلث) × ارتفاع الموشور

افترض أن قاعدة المثلث طولها 4 سم وارتفاع المثلث العمودي 3 سم، وارتفاع الموشور 10 سم:

المساحة = ½ × 4 × 3 = 6 سم²

الحجم = 6 × 10 = 60 سم³

مثال 2: موشور رباعي بقاعدة مربعة

إذا كان لدينا موشور قاعدته مربعة طول ضلعها 5 سم، وارتفاعه 8 سم، فإن

مساحة المربع = 5 × 5 = 25 سم²

الحجم = 25 × 8 = 200 سم³

تُستخدم الموشورات في تصميم صناديق التعبئة، كصنادق العصائر والحليب ذات الشكل الموشوري. يحتاج المصنع إلى معرفة حجم الصندوق ليحسب كمية السائل التي تستوعبها كل عبوة.

مساحة السطح للموشور

مساحة السطح هي مجموع مساحات جميع أوجه الموشور، وتشمل القاعدتين بالإضافة إلى الأوجه الجانبية. لجميع الموشورات، يحسب مجموع مساحات الوجوه الجانبية حسب عدد الأوجه الجانبية وشكلها، ثم نضيف إليها ضعف مساحة القاعدة (لوجود قاعدتين).

مساحة السطح = (محيط القاعدة × الارتفاع) + (2 × مساحة القاعدة)

1. الموشور الثلاثي:

أولاً نحسب محيط المثلث الذي يُشكّل القاعدة، ثم نحسب مساحة الأوجه الجانبية عبر ضرب المحيط في ارتفاع الموشور، وأخيراً نضيف إلى ذلك ضعف مساحة القاعدة.

مثال:

إذا كانت قاعدة مثلث أضلاعه 3 سم، 4 سم، 5 سم، وارتفاع الموشور 7 سم:

المحيط = 3 + 4 + 5 = 12 سم

مساحة الوجوه الجانبية = 12 × 7 = 84 سم²

مساحة قاعدة واحدة = ½ × 3 × 4 = 6 سم²

مساحة السطح = 84 + (2 × 6) = 96 سم²

2. الموشور الرباعي (قاعدته مربع):

إذا كان ضلع المربع 4 سم وارتفاع الموشور 6 سم:

محيط القاعدة = 4 × 4 = 16 سم

مساحة الوجوه الجانبية = 16 × 6 = 96 سم²

مساحة قاعدتين = 2 × (4 × 4) = 32 سم²

مساحة السطح = 96 + 32 = 128 سم²

أهمية معرفة حجم ومساحة السطح في الحياة الواقعية

فهم كيفية حساب الحجم ومساحة السطح يساعد التلاميذ على الربط بين الرياضيات والعالم المادي. مثلاً، عند تغليف هدية، نحتاج إلى معرفة مساحة السطح لتحديد كمية الورق اللازمة. وعند تعبئة سائل في عبوة، نحتاج إلى معرفة حجم العبوة للتأكد أنها تستوعب الكمية المطلوبة.

المهندسون المعماريون يستخدمون حساب حجم ومساحة السطح في تصميم المباني. عندما يُصمَّم سطح زجاجي لمبنى له شكل موشور، يجب حساب مساحة السطح لتحديد كمية الزجاج اللازمة بدقة.

تمارين وتدريبات للأطفال

السؤال 1:

موشور ثلاثي قاعدته مثلث طول قاعدته 6 سم وارتفاع المثلث 4 سم، وارتفاع الموشور 9 سم. احسب الحجم.

الإجابة: ½ × 6 × 4 = 12 سم². ثم 12 × 9 = 108 سم³.

السؤال 2:

موشور رباعي قاعدته مربعة طول ضلعها 5 سم وارتفاعه 10 سم. احسب مساحة السطح.

الإجابة: محيط القاعدة = 4 × 5 = 20 سم، مساحة الجوانب = 20 × 10 = 200 سم²، مساحة القاعدتين = 2 × (5 × 5) = 50 سم². المجموعة = 200 + 50 = 250 سم².

نصائح تعليمية للمعلمين والأهل

من المفيد استخدام أدوات تعليمية ملموسة مثل المجسمات البلاستيكية أو الورقية لشرح المفاهيم المتعلقة بالموشور. يمكن استخدام مكعبات البناء الملونة لعمل موشورات مختلفة الأشكال والأحجام وحساب حجمها ومساحة سطحها يدويًا. يشجع ذلك التلاميذ على الاستكشاف ويُحسّن الفهم الحسي للمجسمات.

من المهم أيضًا دمج هذا النوع من الدروس بالأنشطة الحياتية الواقعية، كقياس حجم علبة حليب في المنزل، أو تغليف صندوق على شكل موشور، ما يساعد الطلاب على ربط الرياضيات بالحياة اليومية.

كما يجب تعزيز فهم الأطفال بالأسئلة المفتوحة، مثل “ما مساحة السطح التي تحتاجها لتغطية علبة عصير؟” أو “هل يمكن لحجم هذا الموشر أن يحتوى لتر كامل من العصير؟”، ما يجعلهم يفكرون بصورة تحليلية.

الفرق بين الحجم ومساحة السطح

التمييز بين مفهومي الحجم ومساحة السطح أمر ضروري. الحجم يشير إلى ما بداخل المجسم – أي مقدار الفراغ الذي يشغله الجسم، ويقاس بوحدات الحجم كـ سم³ أو م³. بينما مساحة السطح تتعلق بالمساحة التي تغطي المجسم من الخارج، وتقاس بوحدات المساحة مثل سم² أو م².

لفهم الفرق يمكن تخيّل صناديق مغلقة: كمية الحلوى التي يمكن وضعها داخلها تمثّل الحجم، أما الورق الفضي الذي يغلف الصندوق من الخارج فهو يمثل مساحة السطح.

تطبيقات متقدمة للتلاميذ المتفوقين

للطلبة الذين يتفوقون في الرياضيات، يمكن إعطاؤهم تمارين لحساب حجم موشورات ذات قواعد مضلعة غير منتظمة، أو تصميم مجسم يُركب من موشورات متعددة، ثم يُطلب منهم حساب حجمه الكلي ومساحة سطحه. يمكن أيضاً استخدام البرمجيات كـ Geogebra أو أدوات الواقع المعزز لعرض الموشورات وتحليل أبعادها من زوايا مختلفة.

المراجع

• المنهج السعودي لرياضيات المرحلة الابتدائية، وزارة التعليم السعودية.
• سلسلة الرياضيات للمرحلة الابتدائية – الصف الخامس الابتدائي، دار المنهل للنشر.
• Oxford Primary Mathematics, Oxford University Press.
• Mathematics Explained for Primary Teachers, Derek Haylock, Sage Publications.
• Mathematics in Real Life – Department of Education, U.K.