المدرج التكراري هو أحد أنواع التمثيل البياني الذي يُستخدم في عرض وتلخيص البيانات العددية المنظمة في مجموعات (فئات). يقوم المدرج التكراري بتوضيح كيفية توزيع البيانات عبر الفئات المختلفة باستخدام الأعمدة. لكل فئة (أو مجموعة)، يتم رسم عمود تمثل مساحته مدى تكرار أو عدد العناصر التي تقع ضمن تلك الفئة. ويُعد المدرج التكراري من أكثر الطرق البصرية فاعلية في تحليل البيانات الإحصائية، وخصوصًا في مراحل التعليم الأساسي والثانوي، لما يوفره من وضوح وسهولة في قراءة الأنماط والاتجاهات المختلفة في البيانات.

أهمية المدرج التكراري في التعليم

يُعد تعلم كيفية رسم المدرج التكراري أمرًا ضروريًا للطلاب والمدرسين وأولياء الأمور، حيث يُسهم في فهم أفضل للبيانات واستخراج معناها. من خلال المدرج التكراري يَسهل مقارنة الفئات المختلفة وتحديد أكثرها تكرارًا أو أقلها، ومتوسط التكرارات تقريبًا. كما يساعد هذا النوع من التمثيل البياني في تهئية الطلاب لاستيعاب مفاهيم أكثر تعقيدًا في الرياضيات مثل التوزيع الطبيعي والانحراف المعياري لاحقًا.

حقائق رياضية: تُستخدم المدرجات التكرارية في تحليل البيانات المتعلقة بدرجات الحرارة اليومية لتحديد اتجاهات المناخ خلال فترات زمنية طويلة، مما يساعد في التنبؤ بالأحوال الجوية المستقبلية.

الخطوات الأساسية لرسم المدرج التكراري

الخطوة الأولى: جمع البيانات وتنظيمها

قبل البدء في عملية الرسم، لا بد من جمع البيانات المراد تمثيلها. على سبيل المثال، إذا كان لدينا مجموعة من الطلاب قاموا بإجراء اختبار في مادة الرياضيات، وتم تسجيل درجاتهم، فإن هذه الدرجات تُعد هي البيانات الخام. بعد جمع هذه البيانات، يتم تنظيمها في جدول تكراري حيث تُقسم البيانات إلى فئات (Intervals) وتُحسب عدد القيم أو التكرارات التي تقع داخل كل فئة. يجب أن تكون الفئات متساوية الطول حتى يكون الرسم البياني صحيحًا وسهل المقارنة.

الخطوة الثانية: تحديد الفئات (الفواصل) والتكرارات

يُراعى في تكوين الفئات أن تكون شاملة لجميع البيانات من أدناها إلى أعلاها، دون تداخل بين الفئات. ومن الأفضل أن يكون عدد الفئات بين 5 و10 للحصول على تمثيل واضح ومبسط. بعد تحديد الفئات، يتم عدّ عدد البيانات التي تقع ضمن كل فئة ووضع العدد في عمود التكرار المقابل لها في الجدول. هذا الجدول يُشكل الأساس الذي يُبنى عليه المدرج التكراري.

الخطوة الثالثة: إعداد محاور الرسم البياني

في هذه المرحلة يتم تجهيز ورقة الرسم البياني أو استخدام برامج إلكترونية عند الإمكان. يُحدد المحور الأفقي (المحور السيني) لتمثيل الفئات، بينما يُستخدم المحور العمودي (المحور الصادي) لتمثيل التكرارات (عدد مرات ظهور البيانات في كل فئة). يتم تقسيم المحورين بشكل مناسب حسب عدد الفئات وحسب أعلى قيمة تكرار. يجب أن تكون المسافات متساوية بين الفئات، وأن يوضع عنوان واضح لكل محور.

الخطوة الرابعة: رسم الأعمدة (المستطيلات)

يتم رسم الأعمدة بحيث يكون عرض كل عمود ممثل للفئة محددًا بشكل متساو، وارتفاعه يعكس التكرار المقابل للفئة. لا توجد فراغات بين الأعمدة في المدرج التكراري، على عكس المخطط العمودي (البال)، وذلك لأن المدرج يُمثّل فئات مستمرة. يجب أن يكون كل عمود ملامسًا للعمود المجاور له للدلالة على الاستمرارية. في حالة استخدام يدوي للورقة والقلم، من المفيد الاستعانة بالأدوات الهندسية مثل المسطرة لضمان الدقة.

الخطوة الخامسة: تسمية الرسم والتحقق من المعلومات

بعد الانتهاء من رسم الأعمدة لجميع الفئات، يجب إضافة عنوان للتمثيل البياني يعكس محتوى البيانات، مثل “مدرج تكراري لدرجات اختبار الرياضيات”. ويُنصح أيضًا بالتأكد من أن جميع القيم الممثلة صحيحة والمقياس ثابت وواضح. كما يمكن استخدام ألوان مختلفة لتوضيح الأعمدة أو استخدام تدرج لوني لتحديد كثافة التكرارات. وأخيرًا، يُمكن كتابة ملاحظات توضح النتائج التي يُستفاد منها من الشكل النهائي.

أمثلة تطبيقية لشرح كيفية رسم المدرج التكراري

مثال 1: درجات اختبار

لنفترض أن لدينا البيانات التالية لدرجات 20 طالبًا في مادة الرياضيات من 100 درجة:
85، 72، 90، 60، 45، 65، 70، 88، 91، 74، 67، 55، 62، 80، 78، 84، 95، 49، 71، 58.
سنقوم أولًا بتحديد أدنى وأعلى درجة: أدنى = 45، أعلى = 95. المدى = 95 – 45 = 50.
نقوم بتكوين 5 فئات، بالتالي يكون طول كل فئة = 10 درجات:

• 45 – 54
• 55 – 64
• 65 – 74
• 75 – 84
• 85 – 94

ثم نُحصي التكرار في كل فئة:

• 45 – 54: 2 طلاب
• 55 – 64: 3 طلاب
• 65 – 74: 5 طلاب
• 75 – 84: 4 طلاب
• 85 – 94: 5 طلاب

وباستخدام هذه المعلومات نرسم الأعمدة كل حسب الفئة وتكرارها، مع حفظ الترتيب والتقيد بالمقاييس، وستكون النتيجة مدرجًا تكراريًا واضحًا يوضح توزيع درجات الطلاب.

مثال 2: أعمار الطلاب

إذا كان لدينا بيانات أعمار 30 طالبًا في صف دراسي، وتراوحت الأعمار من 7 إلى 12 سنة، فإننا يمكننا عمل فئات مثل:

• 7 – 8
• 9 – 10
• 11 – 12

ثم بعد عدّ عدد الطلاب في كل فئة نرسم مدرجًا تكراريًا يُظهر عدد الطلاب ضمن كل مجموعة عمرية، مما يجعل من السهل تقييم ما إذا كانت الفئة العمرية متجانسة أو متنوعة.

أخطاء شائعة يجب تجنبها عند رسم المدرج التكراري

1. الفئات غير المتساوية:

أحد الأخطاء الشائعة هو استخدام فئات غير متساوية في الطول، مما قد يضلل القارئ في فهم النسب والتوزيع. من المهم دومًا أن يتم تقسيم الفئات بشكل موحد وذلك لضمان دقة التفسير البصري.

2. ترك فراغات بين الأعمدة:

المدرج التكراري يُظهر بيانات مستمرة، ومن ثم لا يُسمح بوجود فراغات بين الأعمدة. الفراغات قد توحي بوجود تقسيمات منفصلة وهذا ضد معنى “الاستمرارية”.

3. عدم تسمية المحاور:

بدون تسمية واضحة للمحاور، قد يصبح من الصعب جدًا على القارئ فهم ما يمثله كل محور، وبالتالي يفقد المدرج التكراري فائدته. يُستحسن دوماً تسمية المحور السيني على أنه يمثل الفئة، والمحور الصادي على أنه يمثل التكرار، مع توضيح الوحدات كلما أمكن.

الفرق بين المدرج التكراري وأنواع المخططات الأخرى

المخطط العمودي (Bar Chart):

يُشبه المدرج التكراري بعض الشبه بالمخطط العمودي، لكن الاختلاف الجوهري يكمن في أن المدرج التكراري يُستخدم للبيانات العددية والكمية المتواصلة، في حين يُستخدم المخطط العمودي للبيانات الفئوية أو النوعية (مثل الألوان المفضلة، أو أنواع الأطعمة). أيضًا، توجد مسافات بين الأعمدة في المخطط العمودي بينما لا توجد في المدرج التكراري.

المخطط الدائري (Pie Chart):

يُستخدم المخطط الدائري لتمثيل النسب المئوية، وهو مفيد لمقارنة أجزاء من الكل ولكن لا يعطي نظرة جيدة على التوزيع. المدرج التكراري يقدم تمثيلاً أوضح لتوزيعات البيانات وخاصة عندما يكون حجم البيانات كبيرًا.

فوائد تعليم المدرج التكراري للطلاب في صفوف التعليم العام

تعليم الطلاب كيفية رسم المدرج التكراري يُساعد في تنمية مهارات التفكير التحليلي لديهم، كما يطور من قدرتهم على تنظيم وعرض المعلومات بطريقة علمية ومنهجية. كما يوفر ممارسة فعالة على استخدام الأدوات الرياضية كالمسطرة والتدرجات المترية، مما ينمي مهارات القياس البصري والدقة. وعلاوة على ذلك، فإن تحضير وطباعة ودراسة مدرجات تكرارية يُعد من الوسائل المفيدة في ربط الجوانب الرياضية بالحياة اليومية، مثل تحليل بيانات رياضية، أو استطلاعات رأي، أو حتى حالات الطقس.

المراجع

• وزارة التعليم – دليل الرياضيات للصفوف الأساسية والمتوسطة
• Mathematics for Primary Teachers, Rowland & Turner (2015)
• Teaching Statistics in School Mathematics – Challenges for Teaching and Teacher Education, Springer Publishing (2011)
• Oxford International Primary Mathematics (Oxford University Press)
• الدكتور أحمد الشافعي، أساسيات الإحصاء التربوي – دار المعارف العربية