العلاقة بين الكسور العشرية المتكررة والكسور العادية

العلاقة بين الكسور العشرية المتكررة والكسور العادية

تلعب الكسور دورًا مهمًا جدًا في الرياضيات اليومية وفي فهم العلاقات بين الأعداد، خاصةً في مراحل التعليم الابتدائي والثانوي. ومن المواضيع المهمة التي تثير فضول التلاميذ والمربين على حد سواء هي العلاقة بين الكسور العشرية المتكررة والكسور العادية. تعتبر هذه العلاقة مفتاحًا لفهم أعمق لطبيعة الأعداد وطريقة تمثيلها بأشكال مختلفة، كما تكشف عن الجوانب الجمالية والمنطقية في علم الرياضيات. في هذا المقال، سنتعرف على تعريف الكسور العشرية المتكررة، كيفية تحويلها إلى كسور عادية والعكس، وسنستعرض أمثلة توضح هذه العلاقة وارتباطها بالعالم الواقعي.

ما هي الكسور العشرية المتكررة؟

الكسور العشرية المتكررة هي أعداد عشرية تحتوي على رقم أو مجموعة من الأرقام تتكرر إلى ما لا نهاية. ويمكن تقسيم الكسور العشرية المتكررة إلى نوعين:

• الكسور العشرية المتكررة بشكل بسيط: وهي الأعداد العشرية التي تحتوي على رقم واحد فقط يتكرر باستمرار، مثل: 0.333… أو 0.666…
• الكسور العشرية المتكررة بشكل دوري: وهي التي تحتوي على أكثر من رقم يتكرر في نمط ثابت، مثل: 0.142857142857… أو 0.123123…

وتُكتب الكسور العشرية المتكررة عادةً باستخدام خطٍ يُرسم فوق الرقم أو الأرقام المتكررة. على سبيل المثال، يكتب العدد 0.333… بهذا الشكل: 0.3، ويكتب 0.123123… بهذا الشكل: 0.123.

ما هي الكسور العادية؟

الكسور العادية هي تلك التي تُكتب على شكل a/b، حيث a وb عددان صحيحان، وb ≠ 0. ومن الأمثلة عليها: 1/2، 3/4، 5/6 وغير ذلك. تُستخدم الكسور العادية بشكل شائع في قياس الأطوال، الوقت، المقادير في الوصفات، والعديد من المجالات الواقعية. وهي تمثل نسبة أو جزء من كل، ويمكن تحويل كثير من الأعداد العشرية إليها.

الفرق بين الكسور العشرية المنتهية والمتكررة

قبل دراسة العلاقة بين الكسور العشرية المتكررة والكسور العادية، من المهم التفريق بين نوعين من الكسور العشرية:

• الكسور العشرية المنتهية: أعداد عشرية تتوقف بعد عدد محدد من المنازل العشرية، مثل 0.5، 0.75، 2.375.
• الكسور العشرية المتكررة: كما ذكرنا سابقًا، تحتوي على أرقام تتكرر إلى ما لا نهاية.

كلا النوعين يمكن كتابتهما على شكل كسر عادي، ولكن في حالة الكسور العشرية المتكررة، فإن التحويل يتطلب بعض الخطوات الإضافية بسبب التكرار.

كيفية تحويل الكسور العشرية المتكررة إلى كسور عادية

إن الغرض الأساسي من هذا التحويل هو التعبير عن العدد الدوري في صورة كسر بسيط. ويمكن استخدام أسلوب جبري لهذا الغرض بناء على تحديد الجزء المتكرر. دعونا نتناول الأمثلة لفهم الطريقة:

المثال الأول: تحويل 0.333… إلى كسر عادي

نفترض أن:

x = 0.333…

نضرب الطرفين في 10 لإزاحة الفاصلة العشرية بمكان واحد:

10x = 3.333…

نطرح المعادلتين:

10x – x = 3.333… – 0.333…

9x = 3

x = 3/9

نقوم باختصار الكسر:

x = 1/3

إذاً، 0.333… = 1/3

المثال الثاني: تحويل 0.727272… إلى كسر عادي

نفترض أن:

x = 0.727272…

نلاحظ أن الجزء المتكرر هو “72”، أي مكون من رقمين. لذلك نضرب الطرفين في 100:

100x = 72.727272…

نطرح المعادلتين:

100x – x = 72.727272… – 0.727272…

99x = 72

x = 72/99

نقوم باختصار الكسر:

x = 8/11

كيف يمكن تحويل كسور عادية إلى كسور عشرية متكررة؟

من الطرق الشائعة لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري هو استخدام القسمة المطولة. فإذا أدى القسمة إلى وجود نمط متكرر في النتيجة، فإن الناتج هو كسر عشري متكرر. إليك بعض الأمثلة:

مثال 1: تحويل 1/6 إلى عدد عشري

نقوم بقسمة 1 على 6: 1 ÷ 6 = 0.1666…

نلاحظ أن الرقم “6” يتكرر. لذا، 1/6 = 0.16

مثال 2: تحويل 4/11 إلى عدد عشري

نقسم 4 على 11: 4 ÷ 11 = 0.363636…

نلاحظ أن “36” يتكرر. إذاً، 4/11 = 0.36

معلومة رياضية: في عالم المال والتجارة، تُستخدم الكسور العشرية المتكررة عند حساب أسعار الصرف أو الفوائد البنكية. فعلى سبيل المثال، 1/3 من الدولار يعادل تقريبًا 0.333… دولار، لذا عند توزيع مبلغ معين على ثلاثة أشخاص بالتساوي، يتم استخدام الكسور المتكررة لضبط الحسابات بدقة.

لماذا جميع الأعداد العشرية المتكررة تمثل كسورًا عادية؟

السبب الأساسي هو أن الأعداد العشرية المتكررة يمكن تمثيلها باستخدام معادلات جبرية تؤدي إلى ناتج عددي على شكل كسر. هذه الخاصية متجذرة في بنية الأعداد النسبية (Rational Numbers)، وهي الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة a/b. الأعداد العشرية المتكررة كلها جزء من الأعداد النسبية. في المقابل، هناك أعداد عشرية غير دورية ولا منتهية مثل π أو √2، وهذه لا يمكن تمثيلها على هيئة كسور عادية وتسمى “أعداد غير نسبية”.

أمثلة أخرى تربط الكسور العشرية المتكررة بالكسور العادية

مثال 3: تحويل 0.999… إلى كسر عادي

نفترض أن:

x = 0.999…

نضرب الطرفين في 10:

10x = 9.999…

نطرح الطرفين:

10x – x = 9.999… – 0.999…

9x = 9

x = 1

وبذلك، 0.999… = 1، وهذه حقيقة رياضية مذهلة تعني أن العدد 0.999… هو مساوي تمامًا للعدد 1!

مثال 4: تحويل 0.083333… إلى كسر عادي

نلاحظ أن الرقم “3” يتكرر، ولكن قبل التكرار لدينا الرقم 08. نستخدم التالي:

x = 0.083333…

نضرب في 1000 لإزاحة الفاصلة بعد أول رقم متكرر:

1000x = 83.333…

نضرب كذلك في 10 لإزاحة الفاصلة حتى جزء التكرار:

10x = 0.8333…

نطرح المعادلتين:

1000x – 10x = 83.333… – 0.8333…

990x = 82.5

x = 82.5 / 990

نضرب البسط والمقام في 2 للتخلص من العشرية:

x = 165 / 1980 = 11 / 132

نقوم بالاختصار: x = 1 / 12

استخدام العلاقة بين الكسور العشرية والكسور العادية في الحياة اليومية

توجد تطبيقات عملية كثيرة للعلاقة بين الكسور العشرية المتكررة والكسور العادية. ففي الطهي مثلاً، قد تواجه وصفة تطلب 2/3 كوب من الحليب، وعند استخدام كوب قياس بمقياس عشري، من المفيد معرفة أن 2/3 = 0.666…، مما يساعد على ضبط الكمية بدقة. كما أن النسب في الخوارزميات، وتصميم الرسوميات، أو الاحتمالات في الألعاب، تستخدم هذه العلاقة باستمرار.

في الصفوف الدراسية، فهم هذه العلاقة يُمَكن الطلاب من اكتساب مهارات التقدير والمعالجة الدقيقة، خاصة في العمليات الحسابية التي تتطلب تحويلات بين الصيغ المختلفة للأعداد. كما تعزز العلاقة التفكير المنطقي والقدرة على التحليل والتحقق من صحة النتائج.

كيف نعلم هذه العلاقة للأطفال والمراهقين؟

يمكن استخدام العديد من الاستراتيجيات التعليمية لتسهيل فهم العلاقة بين الكسور العشرية المتكررة والكسور العادية. منها:

• التمثيل البصري: استخدام مخططات وصور توضح التكرار والجزء المتكرر.
• القسمة الطويلة: ليست مجرد طريقة حسابية بل وسيلة لفهم كيف يظهر التكرار عند التحويل من كسر إلى عدد عشري.
• الأنشطة التفاعلية: مثل بناء جدول يحتوي على كسور عادية ومقابلاتها من الكسور العشرية وتعريف الطلاب بالأنماط.
• الألعاب والتعليم بالقصص: يمكن تعليم الأطفال الفرق ومفهوم التكرار باستخدام قصص محببة أو ألعاب تعتمد على الكسور.

المراجع

• فهم الأعداد والعمليات، وزارة التعليم بالمملكة العربية السعودية، الصفوف العليا من المرحلة الابتدائية.
• Mathematics for Elementary Teachers, Beckmann, Sybilla. Pearson Education, 2018.
• Mathematics Explained for Primary Teachers, Derek Haylock. SAGE Publications, 2019.
• Khan Academy – Repeating Decimals and Rational Numbers: https://www.khanacademy.org
• BBC Bitesize – Maths: Converting Recurring Decimals: https://www.bbc.co.uk/bitesize