مقاطع الأشكال ثلاثية الأبعاد وتحليلها

تُعد مقاطع الأشكال ثلاثية الأبعاد من الموضوعات الأساسية والمهمة في دراسة الهندسة، وخاصة للطلاب في المرحلة الابتدائية والإعدادية. ففهم هذه المقاطع يساعد الطلاب على تصور الأشكال الهندسية بطريقة أعمق، ويُمكنهم من إدراك العلاقة بين الأجسام ثلاثية الأبعاد وأشكالها ثنائية الأبعاد التي تتكوّن عندما يتم “قطع” هذه الأشكال بطريقة محددة.

ما المقصود بمقاطع الأشكال ثلاثية الأبعاد؟

تعني مقاطع الأشكال ثلاثية الأبعاد (بالإنجليزية: Cross-Sections of 3D Shapes) الأشكال التي تنتج عند قطع جسم ثلاثي الأبعاد بواسطة مستوى. والمستوى هو سطح مسطح غير سميك يمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات داخل الفضاء. عندما نقوم بحركة القطع، فإننا نمرر هذا المستوى داخل الشكل ثلاثي الأبعاد، والجزء الظاهر عند سطح القطع هو ما يُعرف بالمقطع أو قطعة المستعرض. هذا المقطع يكون عادة شكلًا ثنائي الأبعاد مثل دائرة، مثلث، أو مستطيل، ويعتمد نوعه على نوع الشكل الثلاثي الأبعاد وعلى اتجاه القطع.

أنواع الأشكال ثلاثية الأبعاد الأساسية

قبل أن نبدأ بتحليل المقاطع، من المهم التعرف على أهم الأشكال ثلاثية الأبعاد التي نراها كثيرًا في حياتنا اليومية ومناهج الرياضيات:

• المكعب: له 6 أوجه مربعة، 12 ضلعًا، و8 رؤوس. جميع الحواف متساوية.
• متوازي المستطيلات: يشبه المكعب لكن أبعاده قد تختلف، وله 6 أوجه مستطيلة.
• الأسطوانة: لها قاعدتان دائريتان وسطح جانبي منحني، تشبه علبة العصير.
• الكرة: جسم كروي تمامًا وليس له أوجه أو أضلاع، مثل كرة القدم.
• المخروط: له قاعدة دائرية وسطح جانبي ينتهي في نقطة تُسمى الرأس.
• الهرم: له قاعدة متعددة الأضلاع وسطح جانبي على شكل مثلثات تلتقي في نقطة تسمى الرأس.

أنواع المقاطع تبعًا لطريقة القطع

المقاطع التي نحصل عليها تختلف باختلاف الزاوية والمكان الذي يتم فيه القطع. فيما يلي أهم أنواع المقاطع تبعًا لطريقة واتجاه القطع:

القطع الأفقي

هو عندما نقوم بقطع الشكل ثلاثي الأبعاد بواسطة مستوى موازٍ لقاعدته (أي بصورة أفقية). هذا النوع من القطع غالبًا ما يُنتج مقطعًا يُشبه القاعدة.

القطع الرأسي (العمودي)

ويكون عندما ننفذ القطع بشكل عمودي على القاعدة (أي من الأعلى للأسفل أو من الجانبين يكون مستقيمًا). هذا يُعطينا مقاطع قد تكون مستطيلات، مثلثات، أو أشكالًا أخرى حسب نوع الشكل واتجاه القطع.

القطع المائل

وهو القطع الذي يتم بزاوية غير 90 درجة مع القاعدة. هذه المقاطع تعطي أشكالًا متنوعة وأحيانًا غير منتظمة مثل قطع ناقص أو أشكال مُعقدة قليلاً.

تحليل مقاطع بعض الأشكال ثلاثية الأبعاد

مقاطع المكعب ومتوازي المستطيلات

عند قطع المكعب أو متوازي المستطيلات، يمكن أن تنتج لنا عدة أنواع من الأشكال ثنائية الأبعاد كالمربع، المستطيل، أو حتى المثلث إذا تم القطع بطريقة مائلة. مثلًا، إذا قمنا بقطع المكعب أفقيًا في منتصفه، فسنحصل على مقطع مربع. أما إذا كان القطع عمودي أو مائل فربما يظهر لنا مستطيل أو مثلث.

مقاطع الأسطوانة

للأسطوانة خصائص خاصة عند قطعها:

• عند قطعها أفقيًا، يكون المقطع دائرة مماثلة تمامًا لقاعدتها.
• عند قطعها رأسيًا، يظهر المقطع على شكل مستطيل.
• عند قطعها بميل، يمكن أن نحصل على شكل بيضاوي (قطع ناقص).

إذا قمنا بقطع أسطوانة تستخدم في تعبئة الكريمات التجميلية بزاوية مائلة، فإن الغطاء الناتج يكون على شكل بيضاوي وليس دائرة، ما يتطلب تصنيع أغطية مخصصة!

مقاطع الكرة

بغض النظر عن المكان الذي نقطع فيه الكرة، فإن جميع المقاطع ستكون دائرية. والسبب هو أن الكرة متساوية الأبعاد من جميع الجهات. فإذا تم القطع في منتصف الكرة بالضبط نحصل على دائرة كبيرة (دائرة العظمى)، وإذا كان القطع مائلًا فإننا نحصل على دائرة صغيرة.

مقاطع المخروط

المخروط يعطي مقاطع مختلفة تبعًا لطريقة القطع:

• عند القطع الأفقي، نحصل على دائرة.
• عند القطع العمودي، نحصل على مثلث.
• عند القطع المائل، يمكن أن نحصل على قطع ناقص أو شكل غير منتظم.

وهذه الخاصية في المقاطع تُستخدم كثيرًا في دراسة القطوع المخروطية في مراحل التعليم المتوسطة أو الثانوية، وهي عبارة عن الدائرة، القطع الناقص، القطع المكافئ والقطع الزائد.

مقاطع الهرم

الهرم يعطي مقاطع متنوعة أيضًا:

• عند القطع الأفقي، نحصل على شكل مشابه لقاعدة الهرم (مثلًا إذا كانت القاعدة مربعة يكون المقطع مربعًا).
• عند القطع العمودي، نحصل على مقطع مثلث أو شكل مختلف بحسب موقع ومستوى القطع.

كما أن القطع الذي يمر من رأس الهرم إلى منتصف القاعدة يعطي عادة مثلثًا، وهذا من أهم المقاطع التي تسهّل علينا فهم شكل الهرم من الداخل.

أهمية فهم المقاطع في الحياة الواقعية

فهم مقاطع الأشكال ثلاثية الأبعاد مهم جدًا في مجالات متعددة مثل الهندسة، المعمار، التصميم الصناعي، وحتى الطب! يساعد هذا المفهوم في تصور شكل الأجسام الداخلية دون الحاجة لرؤيتها من الداخل. مثلاً في التصوير بالرنين المغناطيسي، يتم “قطع” جسم الإنسان بصور مقطعية لرؤية الأعضاء الداخلية.

في الهندسة المعمارية، قبل بناء جسر أو مبنى، يتم رسم مقاطع عرضية للمشروع لتحديد كيفية توزيع المواد وتقدير التكلفة!

تعلم التفكير المكاني من خلال المقاطع

من خلال تعلم مقاطع الأشكال الثلاثية الأبعاد، يبدأ الأطفال في تطوير مهارات التفكير المكاني. وهي القدرة على تخيل كيفية شكل شيء ما من زاوية مختلفة، أو كيف يمكن أن يبدو إذا قطعناه أو أدرناه. تنمية هذه المهارة تعتبر خطوة هامة جدًا في تعزيز الفهم الهندسي المبني على التصور بدلًا من مجرد الحفظ.

نشاطات يمكن تطبيقها لفهم المقاطع

هناك مجموعة من الأنشطة المفيدة والممتعة التي يمكن إجراؤها داخل الصف أو في المنزل لمساعدة الأطفال على فهم مفهوم المقاطع:

• استخدام الصلصال أو المعجون لصنع أشكال ثلاثية الأبعاد وقطعها بسكين بلاستيكي لرؤية المقاطع.
• استخدام مكعبات البناء مثل “ليغو” وقطع نماذج مختلفة لفهم أشكال المقاطع.
• رسم خطوط القطع على صور ورقية أو مُجسمات لتقدير شكل المقطع الناتج.
• استعمال نماذج ثلاثية الأبعاد افتراضية أو تطبيقات تكنولوجية لعرض المقاطع بطريقة تفاعلية.

أسئلة شائعة

هل يمكن أن تكون المقاطع مختلفة لنفس الشكل؟

نعم، فالمقطع الناتج يتغير حسب اتجاه وطريقة القطع. مثلاً، الأسطوانة يمكن أن تعطي دائرة أو مستطيل إذا قطعناها بطرق مختلفة.

هل المقاطع دائمًا تكون أشكالًا منتظمة؟

ليس دائمًا. فبعض المقاطع قد تكون غير منظمة إذا تم القطع من زاوية غير معتادة أو من طرف غير مركزي.

هل يمكن تطبيق هذا المفهوم على الأشكال غير المنتظمة؟

نعم، ولكن التحليل يكون أصعب قليلاً ويتطلب أدوات تحليل هندسي أكثر تقدمًا.

المراجع

• وزارة التربية والتعليم – دليل المعلم للرياضيات للمرحلة الابتدائية والإعدادية.
• NCERT (National Council of Educational Research and Training) – Grade 6, 7, 8 Maths Curriculum.
• Cambridge Mathematics – Primary and Lower Secondary Geometry Resources.
• Math is Fun (https://www.mathsisfun.com/geometry/cross-sections.html).
• Khan Academy – Geometry: Cross Sections of 3D Objects.