تُعتبر متتالية فيبوناتشي واحدة من أكثر المتتاليات الرياضية شهرةً في العالم، ولها استخدامات كثيرة في الرياضيات والعلوم والفن والطبيعة. وهي متتالية عددية تبدأ عادةً بالعددين 0 و1، وكل عدد بعدها هو ناتج جمع العددين السابقين له. هذه الفكرة البسيطة تجعل من متتالية فيبوناتشي رحلة ممتعة لاكتشاف الأنماط والعلاقات بين الأعداد، وهي تُستخدم في المرحلتين الابتدائية والمتوسطة كبوابة لفهم مفاهيم الرياضيات الأساسية.

كيف تبدأ متتالية فيبوناتشي؟

لبداية المتتالية، نبدأ عادةً بالعددين:
0 و 1. ثم نقوم بجمع هذين العددين للحصول على العدد التالي. بعد ذلك، نكرر نفس العملية بحيث يكون كل عدد هو مجموع العددين اللذين يسبقانه. إليك أول عشرة أعداد من متتالية فيبوناتشي:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

لاحظ كيف يعمل النمط:

• 1 = 0 + 1
• 2 = 1 + 1
• 3 = 1 + 2
• 5 = 2 + 3
• وهكذا…

من هو فيبوناتشي؟

فيبوناتشي هو لقب للعالم الرياضي الإيطالي ليوناردو بيسانو، الذي عاش في القرنين الثاني عشر والثالث عشر الميلادي (حوالي 1170-1250 ميلادية). اشتهر بكتابه “ليبر أباشي” (Liber Abaci) الذي نشره عام 1202م. في هذا الكتاب، شرح فوائد الأعداد الهندية والعربية وطريقة الحساب العشري، كما قدّم للعالم الغربي متتالية الأعداد التي سُمّيت لاحقًا باسمه. إلا أنّه لم يكن أول من اكتشف هذه المتتالية، فقد وُجدت آثارها في الرياضيات الهندية القديمة، لكن فيبوناتشي كان أول من قدّمها في أوروبا بذلك الشكل.

ما هو نمط متتالية فيبوناتشي؟

متتالية فيبوناتشي تتبع نمطًا بسيطًا ولكنه قوي وملهم. يمكننا كتابة قاعدة المتتالية على النحو التالي:

Fn = Fn-1 + Fn-2

حيث:

• Fn هو الحد n من المتتالية
• Fn-1 هو الحد السابق له
• Fn-2 هو الحد الذي يسبق الحد السابق

هذا النمط يساعد الأطفال على فهم فكرة التتابع والاعتماد على الأعداد السابقة لتكوين أعداد جديدة. إنه تدريب ممتاز للدماغ على التعرف على الأنماط والتسلسل.

هل يوجد تطبيقات لمتتالية فيبوناتشي؟

نعم، متتالية فيبوناتشي لا تقتصر فقط على صفحات كتب الرياضيات، بل تظهر في كثير من نواحي الحياة اليومية والطبيعة والعلم والتكنولوجيا. من أبرز هذه التطبيقات:

في الطبيعة، يمكن مشاهدة نمط متتالية فيبوناتشي في ترتيب أوراق النباتات، وعدد بتلات الأزهار، وحتى في ترتيب بذور زهرة دوّار الشمس!

كما أن لها استخدامات في تصميم وحدات الحاسوب، وفي عالم الكومبيوترات والخوارزميات، وفي تكوين نسب ذهبية موجودة في الفن والهندسة المعمارية.

ما هي النسبة الذهبية ولماذا ترتبط بفيبوناتشي؟

النسبة الذهبية، وتُكتب عادةً بالحرف اليوناني (φ = فاي)، هي مقدار عددي تقريبي ≈ 1.618. تظهر هذه النسبة عند قسمة عدد ما من متتالية فيبوناتشي على العدد الذي يسبقه، فمثلًا:

• 8 ÷ 5 ≈ 1.6
• 13 ÷ 8 ≈ 1.625
• 21 ÷ 13 ≈ 1.615
• وكلما تقدمنا، أصبحت النتيجة أقرب للنسبة الذهبية ≈ 1.618

هذه النسبة مستخدمة كثيرًا في تصميم المباني والأعمال الفنية لأنها تعتبر أكثر النسب pleasing to the eye، أي ممتعة للنظر.

استخدام متتالية فيبوناتشي في الفنون

لقد استخدم العديد من الفنانين والمهندسين المعماريين عبر التاريخ النسبة الذهبية التي تنتج من متتالية فيبوناتشي في أعمالهم. يُقال أن الفنان الشهير ليوناردو دافنشي استخدم هذه النسبة في لوحاته، ومنها اللوحة الشهيرة “العشاء الأخير”. ويظهر هذا أيضاً في تصاميم المباني القديمة، مثل “البارثينون” في اليونان.

كما أنها تلعب دورًا مهمًا في التصميم الداخلي وتصميم الشعارات الحديثة مثل شعار شركة آبل وشركة تويتر، مما يظهر كيف أن الرياضيات يمكن أن تكون جزءًا من الإبداع والفن.

دور فيبوناتشي في البرمجة والحوسبة

عند تعلم البرمجة، غالبًا ما يستخدم المدرسون متتالية فيبوناتشي كمثال لتعليم التكرار (التكرار في الحسابات) أو ما يُعرف بـ recursion. لأن طريقة بناء الأعداد تتطلب الرجوع إلى الأعداد السابقة، فإنها تدرب الطلاب على كيفية بناء خوارزميات تعتمد على القيم السابقة.

إليك مثالاً بسيطًا:
إذا أردت كتابة برنامج لحساب الحد الخامس من المتتالية، فإنك تحتاج لحساب الحد الرابع والثالث قبله، وهكذا حتى تصل إلى أول عدد!

فيبوناتشي والحيوانات والطبيعة

في عالم الحيوان، يمكننا ملاحظة متتالية فيبوناتشي في تكاثر الأرانب. فقد قدم فيبوناتشي سؤالًا في كتابه حول عدد الأزواج من الأرانب التي يمكن أن تُنتج خلال سنة، بافتراض أن كل زوج أرانب يلد زوجًا جديدًا كل شهر، ويبدأ في الإنجاب اعتبارًا من الشهر الثاني. الحل لهذا السؤال يُعطي متتالية فيبوناتشي بالفعل. كما أن العديد من الحلزونات والمحار البحرية تنمو طبقًا للنسبة الذهبية الناتجة من المتتالية.

صَدَفَة الحلزون البحري الشائعة تدور بشكل لولبي بحيث تتبع أبعادها تدريجياً نمط متتالية فيبوناتشي!

تعلم متتالية فيبوناتشي بألعاب وتمارين

يمكن للطلاب الصغار تعلم متتالية فيبوناتشي بسهولة من خلال ألعاب رياضية مشوقة يتتبعون فيها التسلسل أو يلونون الخانات بالأعداد الصحيحة. كما أن استخدام المكعبات أو مشابك الغسيل يمكن أن يساعد على تعزيز فهم كيفية تكوُّن الأعداد تدريجيًا. كذلك، يمكن للطلاب الأكبر سنًا محاولة كتابة برامج بلغة مبسطة تحسب الأعداد المختلفة في المتتالية.

تمييز الأنماط داخل المتتالية

كلما تقدمنا في متتالية فيبوناتشي، يمكن أن نلاحظ بعض الأنماط المثيرة:

• يكون كل عدد ثالث عددًا زوجيًا.
• إذا جمعنا أول N أعداد في المتتالية، نحصل على العدد التالي من المتتالية ناقص 1.

مثال:
0 + 1 + 1 + 2 + 3 = 7 = 8 – 1

هذه الأنماط مفيدة جدًا في تطوير مهارات الاستنتاج والتفكير الرياضي المنطقي لدى الأطفال. ويمكن استخدامها لتعليم مفاهيم الجمع، الكسور، والقسمة أيضاً.

علاقة فيبوناتشي بالأشكال الهندسية

من الرائع أن تعرف أن هناك شكلًا هندسيًا يُسمى حلزون فيبوناتشي. يمكن رسم هذا الحلزون عن طريق رسم مربعات أطوالها تساوي أعداد فيبوناتشي، ثم رسم أقواس دائرية داخل كل مربع. يُستخدم هذا النوع من الحلزون لتوضيح مسار النمو في الكائنات الحية أو حتى في الظواهر الفيزيائية مثل حركة العواصف.

كما أن الدوائر المتدرجة من هذا الحلزون تُستخدم في الهندسة المعمارية لإنتاج تصاميم متوازنة بصريًا ومنظمة هندسيًا.

هل يستطيع الأطفال استخدام متتالية فيبوناتشي؟

طبعًا! متتالية فيبوناتشي يمكن توظيفها كأداة تعليمية رائعة في الفصل الدراسي، خاصةً في الرياضيات والفنون والعلوم. يستطيع الطلاب استخدامها لتقدير النسب، فهم العلاقات الرياضية، وإيجاد الحلول المنطقية للمسائل. المعلم يمكنه إدراجها ضمن مشاريع صفية لربط الرياضيات بالحياة الواقعية، أو حتى استخدامها كأساس لإجراء أبحاث قصيرة.

كما تساعد المتتالية الطلاب على تطوير مهاراتهم في الحساب الذهني، والتحليل المنطقي، والبنية العددية. لذا فهي ليست فقط جميلة، بل ذكية أيضًا!

المراجع

• Leonardo of Pisa (Fibonacci), Liber Abaci, 1202.
• Koshy, Thomas. “Fibonacci and Lucas Numbers with Applications.” Springer, 2001.
• Devlin, Keith. “The Man of Numbers: Fibonacci’s Arithmetic Revolution.” Bloomsbury, 2011.
• Nature and Fibonacci Numbers: https://www.mathsisfun.com/numbers/nature-fibonacci.html
• Phi: The Golden Ratio. https://www.goldennumber.net