خصائص المضلعات وأنواعها في الرياضيات

تُعدّ المضلعات من المفاهيم الأساسية في الهندسة، وتلعب دورًا مهمًا في العديد من التطبيقات الرياضية والعلمية والهندسية. يمكن تعريف المضلع ببساطة على أنه شكل هندسي مستوٍ ومغلق يتكوّن من ثلاثة أضلاع أو أكثر، تتقاطع فقط عند نهاياتها لتشكيل رؤوس. تشمل المضلعات البسيطة مثل المثلثات والمربعات والمستطيلات، وكذلك المضلعات المعقدة مثل المخمسات والمسدسات والعشاريات.

ما هو المضلع؟

المضلع هو شكل ثنائي الأبعاد يتكوّن من سلسلة من القطع المستقيمة المتصلة نهاياتها بنقطة البداية لتكوّن شكلاً مغلقًا. يُطلق على كل قطعة مستقيمة “ضلع”، والزاوية المكوّنة عند التقاء ضلعين تُعرف بـ “زاوية داخلية”. تعدّ الرؤوس هي النقاط التي تلتقي فيها الأضلاع، ولكل مضلع عدد من الأضلاع يساوي عدد الزوايا وعدد الرؤوس.

تصنيف المضلعات حسب عدد الأضلاع

من خلال عدد الأضلاع، تُصنّف المضلعات كالتالي:

• المثلث (3 أضلاع)
• الرباعي (4 أضلاع)
• المخمس (5 أضلاع)
• المسدس (6 أضلاع)
• المسبع (7 أضلاع)
• الثماني (8 أضلاع)
• التساعي (9 أضلاع)
• العشاري (10 أضلاع)

ويمكن أن نُطلق على المضلعات التي تحتوي على عدد كبير من الأضلاع أسماء مثل: “مضلع بعدد n من الأضلاع”.

خصائص المضلعات

لكل مضلع خصائص مميزة تعتمد على عدد أضلاعه، ونوعه (منتظم أو غير منتظم)، وشكله العام. إليك أبرز الخصائص المشتركة:

1. الزوايا الداخلية

مجموع الزوايا الداخلية لأي مضلع يُحسب باستخدام الصيغة التالية:

مجموع الزوايا الداخلية = (n – 2) × 180 درجة

حيث n هو عدد أضلاع المضلع. فعلى سبيل المثال، المثلث مجموع زواياه الداخلية = (3 – 2) × 180 = 180 درجة، والمضلع السداسي له مجموع زوايا داخلية = (6 – 2) × 180 = 720 درجة.

2. الزوايا الخارجية

مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع بسيط (واحدة عند كل رأس) دائمًا يساوي 360 درجة، بغض النظر عن عدد الأضلاع.

3. عدد الأضلاع = عدد الزوايا = عدد الرؤوس

في أي مضلع، يكون عدد الأضلاع مساويًا لعدد الزوايا الداخلية وعدد الرؤوس. هذه الخاصية مهمة جدًا في تحديد نوع المضلع وفهم سلوكه الهندسي.

4. خاصية التقعر أو التحدب

يمكن تقسيم المضلعات حسب شكلها إلى:

• مضلع محدب: لا تحتوي زواياه الداخلية على أي زاوية أكبر من 180 درجة. يمكن رسم خط مستقيم بين أي نقطتين داخل المضلع دون الخروج عن حدوده.
• مضلع مقعر: يحتوي على زاوية داخلية واحدة على الأقل أكبر من 180 درجة. أيضاً، يمكن إيجاد نقطتين داخل المضلع يتم رسم خط بينهما ويمر خارج الشكل.

المضلعات المنتظمة وغير المنتظمة

تُصنّف المضلعات كذلك حسب تساوي أضلاعها وزواياها، وتشمل:

1. المضلعات المنتظمة

هو المضلع الذي تكون فيه جميع الأضلاع متساوية في الطول، وجميع الزوايا الداخلية متساوية في القياس. من أمثلة ذلك:

• المثلث المتساوي الأضلاع
• المربع
• المخمس المنتظم

هذا النوع من المضلعات يستخدم كثيرًا في التصميمات الهندسية والبناء لأنه يسمح بتقسيم متساوٍ للمساحات والأشكال.

تُستخدم المضلعات المنتظمة في تصميم بلاط الأرضيات والأرصفة لأن الأشكال المتساوية تسهل التركيب وتقلل الهدر.

2. المضلعات غير المنتظمة

هي المضلعات التي لا تكون فيها كل الأضلاع متساوية، ولا الزوايا متساوية. وهي أكثر انتشارًا في الأشكال الطبيعية مثل أوراق النباتات وحدود الدول.

أنواع المضلعات الرباعية

المضلعات التي تتكوّن من أربعة أضلاع تُعرف بالمضلعات الرباعية، وتُقسم إلى عدّة أنواع، ولكل منها خصائصه:

• المربع: جميع أضلاعه متساوية وجميع زواياه 90 درجة.
• المستطيل: كل زاوية فيه قائمة، لكن الأضلاع ليست متساوية بالضرورة.
• المعين: كل أضلاعه متساوية ولكن زواياه قد لا تكون قائمة.
• شبه المنحرف: له ضلعان متوازيان فقط.
• متوازي الأضلاع: كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان ومتساويان.

أنواع المثلثات كنوع من المضلعات

المثلثات هي أبسط أنواع المضلعات وهي مكونة من 3 أضلاع و3 زوايا. تُصنّف حسب طول الأضلاع أو قياس الزوايا كما يلي:

1. حسب الأضلاع:

• مثلث متساوي الأضلاع: كل الأضلاع متساوية وكل الزوايا 60 درجة.
• مثلث متساوي الساقين: له ضلعان متساويان.
• مثلث مختلف الأضلاع: جميع أضلاعه مختلفة الطول.

2. حسب الزوايا:

• مثلث حاد الزوايا: جميع زواياه أقل من 90 درجة.
• مثلث قائم الزاوية: له زاوية مقدارها 90 درجة.
• مثلث منفرج الزاوية: يحتوي على زاوية أكبر من 90 وأقل من 180 درجة.

قوانين أساسية للمضلعات

1. قانون حساب محيط المضلع

إذا كان المضلع منتظمًا، فإن المحيط يُحسب باستخدام الصيغة:

محيط المضلع = عدد الأضلاع × طول الضلع

2. قانون حساب المساحة

توجد طرق مختلفة لحساب مساحة المضلعات، وغالبًا لكل نوع منها قانون خاص به. على سبيل المثال:

• مساحة المربع = الضلع × الضلع
• مساحة المستطيل = الطول × العرض
• مساحة المعين = (القطر الأول × القطر الثاني) ÷ 2
• مساحة المثلث = (القاعدة × الارتفاع ) ÷ 2

استخدامات المضلعات في الحياة الواقعية

تلعب المضلعات دورًا مهمًا في العديد من المجالات، سواء في الرياضيات، أو الفنون، أو الهندسة، بل وحتى في التكنولوجيا. تشمل هذه الاستخدامات:

• العمارة: تُستخدم المضلعات لتصميم الأبنية والواجهات والتصاميم المعمارية المتناسقة.
• الرسم الهندسي: تُستخدم بنى المضلعات في تمثيل المخططات والمجسمات.
• العلوم الطبيعية: تحتوي الطبيعة على أنماط هندسية مضلعية مثل خلايا النحل (مضلع سداسي).
• برمجة الحاسوب والألعاب: تُستخدم المضلعات في تكوين الرسومات الثلاثية الأبعاد في بيئات الرسوميات المختلفة.

شكل خلية النحل في الطبيعة هو سداسي منتظم، ويُعد خيارًا اقتصاديًا لأنه يوفر أقصى مساحة بأقل محيط، مما يساعد النحل على تخزين أكبر كمية من العسل بأقل كمية من الشمع.

أنشطة تعليمية مقترحة للمعلّمين والأهالي

يمكن تعزيز فهم الأطفال للمضلعات من خلال تطبيق أنشطة تعليمية ممتعة، مثل:

• قص ولصق أشكال مضلعة من الورق الملون.
• رسم مضلعات باستخدام المسطرة والمنقلة.
• لعب ألعاب اكتشاف المضلعات في البيئة المحيطة (الباب، النافذة، اللافتات… إلخ).
• تصميم نماذج ثلاثية الأبعاد باستخدام أعواد الخشب أو المكعبات.

نصائح لتدريس المضلعات

يمكن للمعلمين وأولياء الأمور تحفيز الأطفال على استيعاب المضلعات من خلال استخدام وسائل تعليمية مرئية وتفاعلية. أيضًا من المفيد تقديم المفاهيم تدريجيًا، بدءًا من المثلثات ثم الرباعيات، وهكذا. من الضروري استخدام الأدوات الهندسية مثل المسطرة والمنقلة والفرجار لجعل الدراسة عملية ومرحة.

المراجع

• وزارة التعليم السعودية، منهج الرياضيات للمرحلة الابتدائية والمتوسطة.
• NCERT – National Council of Educational Research and Training (India), Math Textbooks Grades 3-10.
• Khan Academy – Geometry Lessons on Polygons.
• Encyclopedia Britannica, “Polygon.” britannica.com.
• المركز الوطني لتطوير المناهج، دليل المعلّم للرياضيات.