في عالم الرياضيات، تعتبر جداول التكرار من الأدوات المفيدة والهامة لفهم البيانات ومقارنتها وتحليلها بطريقة سهلة وفعّالة. يتم استخدام جداول التكرار لتلخيص عدد مرات تكرار قيمة معينة أو مجموعة من القيم في مجموعة بيانات. وهي تساعد المتعلمين، خصوصًا في المرحلة الابتدائية، على تنظيم المعلومات عددياً واستخلاص المتوسطات بصورة مبسطة. المتوسطات هي طرق رياضية لتمثيل القيمة النموذجية لمجموعة من القيم، وأبرز أنواعها: المتوسط الحسابي، الوسيط، والمنوال.
ما هي جداول التكرار؟
جدول التكرار هو جدول يُستخدم لتلخيص البيانات من خلال تسجيل كم مرّة ظهرت كل قيمة أو فئة من القيم. يُعد إنشاء جدول التكرار خطوة أولى في كثير من الأحيان لتحليل البيانات واكتشاف أنماط معينة فيها. يحتوي الجدول عادةً على عمودين أو أكثر، حيث يُمثّل العمود الأول القيم أو الفئات، والعمود الثاني يُمثّل عدد المرات التي ظهرت فيها كل قيمة، أي “التكرار”. قد يحتوي الجدول أيضًا على أعمدة إضافية مثل “التكرار المتراكم” أو “النسبة المئوية”.
في متجر لبيع الألعاب، تم تسجيل عدد المرات التي بيعت فيها أنواع معينة من الدمى على مدار أسبوع. باستخدام جدول التكرار، استطاع المدير تحديد أن دمية معينة تم بيعها أكثر من غيرها، وبذلك قرر زيادة الطلب عليها في الأسبوع المقبل!
خطوات إنشاء جدول التكرار
لإنشاء جدول تكرار بطريقة صحيحة، يجب اتباع الخطوات التالية:
- تحديد البيانات المراد تحليلها: قم بجمع البيانات المتعلقة بموضوع معين، مثل درجات الطلاب أو عدد الكتب التي قرأها الأطفال.
- فرز البيانات: يتم تنظيم القيم من الأصغر إلى الأكبر لتسهيل تسجيل التكرارات.
- تحديد القيم أو الفئات: في بعض الحالات تكون البيانات أرقامًا منفردة، وفي حالات أخرى يتم تقسيمها إلى فئات أو مجموعات.
- عدّ التكرارات: حدد عدد المرات التي تظهر فيها كل قيمة أو فئة.
- تنظيم النتائج في جدول: أنشئ جدولًا يعرض كل قيمة أو فئة بجانب عدد تكراراتها.
مثال تطبيقي: إذا كانت أعمار مجموعة من الطلاب هي: 10، 11، 10، 12، 11، 10. فإن جدول التكرار سيكون كالتالي:
| العمر | عدد التكرارات |
|---|---|
| 10 | 3 |
| 11 | 2 |
| 12 | 1 |
أنواع المتوسطات وطريقة حسابها باستخدام جداول التكرار
المتوسط الحسابي
المتوسط الحسابي هو حاصل قسمة مجموع القيم على عددها. وعندما نستخدم جدول التكرار لحساب المتوسط الحسابي، فإننا نقوم بضرب كل قيمة في تكرارها، ثم نحسب مجموع هذه الضربات، وأخيرًا نقسم الناتج على مجموع التكرارات. الصيغة الرياضية هي:
المتوسط = (قيمة 1 × تكرار 1 + قيمة 2 × تكرار 2 + … ) ÷ (مجموع التكرارات)
مثال: باستخدام جدول التكرار السابق لأعمار الطلاب:
- المجموع = (10 × 3) + (11 × 2) + (12 × 1) = 30 + 22 + 12 = 64
- عدد التكرارات = 3 + 2 + 1 = 6
- المتوسط = 64 ÷ 6 ≈ 10.67 سنة
إذن، المتوسط الحسابي لأعمار الطلاب هو تقريبًا 10.67 سنة.
الوسيط
الوسيط هو القيمة المتوسطة التي تقع في منتصف مجموعة البيانات بعد ترتيبها تصاعديًا أو تنازليًا. ويتم حساب الوسيط باستخدام جداول التكرار من خلال اتباع الخطوات الآتية:
- حساب مجموع التكرارات الكلي.
- تحديد الموقع الترتيبي للقيمة الوسطى، وهو: (عدد القيم + 1) ÷ 2.
- تحديد الفئة أو القيمة التي تحتل هذا الموقع بناءً على التكرار المتراكم.
باستخدام نفس جدول الأعمار، لدينا 6 طلاب، إذن الموقع الوسيط = (6 + 1) ÷ 2 = 3.5، أي أن الوسيط هو المتوسط بين القيمة الثالثة والرابعة في الترتيب.
- القيم المرتبة: 10، 10، 10، 11، 11، 12
- القيمة 3: 10
- القيمة 4: 11
- الوسيط = (10 + 11) ÷ 2 = 10.5 سنة
المنوال
المنوال هو القيمة التي تتكرر أكثر عدد من المرات ضمن مجموعة البيانات. وهو يُستخدم كثيرًا في الدراسات التي تهتم بالمقارنة بين أكثر القيم شيوعًا.
في مثال الأعمار أعلاه، نجد أن أكثر عمر تكرارًا هو 10 سنوات لأنه تكرر 3 مرات، بينما الأعمار الأخرى تكررت أقل. إذن، المنوال = 10 سنوات.
استخدام جدول التكرار في الحياة الواقعية
لا تقتصر أهمية جداول التكرار والمتوسطات على المسائل المدرسية فقط، بل تُستخدم في حياتنا اليومية وفي مجالات متعددة مثل التجارة، والصناعة، والتعليم، والرياضة، وحتى في التخطيط للأنشطة اليومية. فعلى سبيل المثال، قد يستخدم المعلم جدول التكرار لتحليل نتائج الطلاب في اختبار معين، مما يساعده في تحديد مستوى الطلاب بشكل أوضح. كذلك يمكن لمدير متجر أن يستخدم جدول التكرار لفهم المنتجات التي تُباع أكثر. ومن خلال حساب المتوسطات، يمكن التوصل إلى رؤى تؤثر في اتخاذ القرارات.
في أحد الملاعب الرياضية، تم تسجيل عدد الأهداف التي يسجلها الأطفال في تدريب كرة القدم الأسبوعي. بعد جمع البيانات وإنشاء جدول تكرار، تم حساب أن المتوسط الحسابي للأهداف أسبوعيًا هو 3 أهداف لكل طفل، مما ساعد المدرب على تحسين أسلوب التدريب!
الفرق بين الجداول التكرارية البسيطة والجداول التكرارية المجمعة
يمكن تقسيم جداول التكرار إلى نوعين رئيسيين:
1. الجداول التكرارية البسيطة:
تُستخدم عندما تحتوي البيانات على عدد محدود من القيم، مثل أعمار قليلة أو درجات محددة. كل صف في الجدول يُمثل قيمة واحدة وتكرارها.
2. الجداول التكرارية المجمعة:
تُستخدم عندما تكون البيانات كثيرة ومتنوعة، حيث يتم تجميع القيم في فئات (مجموعات)، مثل “من 10 إلى 20″، “من 21 إلى 30″، وغيرها. هذا النوع من الجداول يُفيد في تنظيم البيانات الكبيرة بطريقة فعّالة.
مثال على جدول تكراري مجمع لدرجات امتحان:
| الفئة | التكرار |
|---|---|
| 0 – 10 | 2 |
| 11 – 20 | 5 |
| 21 – 30 | 8 |
| 31 – 40 | 3 |
حساب المتوسط الحسابي من جدول تكراري مجمع
يتم حساب المتوسط من جدول تكراري مجمع باستخدام ما يُعرف بـ نقطة منتصف الفئة لكل فئة. ويتم ذلك كالآتي:
- حساب منتصف كل فئة، وذلك عن طريق: (الحد الأدنى + الحد الأعلى) ÷ 2.
- ضرب كل منتصف فئة × التكرار الخاص بها.
- جمع جميع حاصل الضربات.
- قسمة المجموع على مجموع التكرارات.
باستخدام الجدول المجمع للدرجات:
- منتصف الفئة الأولى: (0 + 10) ÷ 2 = 5
- منتصف الفئة الثانية: (11 + 20) ÷ 2 = 15.5
- منتصف الفئة الثالثة: (21 + 30) ÷ 2 = 25.5
- منتصف الفئة الرابعة: (31 + 40) ÷ 2 = 35.5
ثم:
- 5 × 2 = 10
- 15.5 × 5 = 77.5
- 25.5 × 8 = 204
- 35.5 × 3 = 106.5
- المجموع = 10 + 77.5 + 204 + 106.5 = 398
- إجمالي التكرارات = 2 + 5 + 8 + 3 = 18
- المتوسط = 398 ÷ 18 ≈ 22.1 درجة
أهمية تعلّم جداول التكرار والمتوسطات للطلاب
يُعد فهم جداول التكرار والمتوسطات لبنة أساسية في بناء قدرات التفكير النقدي والتحليل العلمي لدى الطلاب. إذ تُساعدهم هذه المهارات على التعامل مع البيانات بعد جمعها، سواء كانت أرقام درجات، أعمار، أطوال، أو حتى هوايات زملائهم في الفصل. كما أنها تهيئهم لفهم الإحصاءات التي يواجهونها في وسائل الإعلام والحياة اليومية.
علاوة على ذلك، تعتبر هذه المعرفة قاعدة رائعة لتعلم مواد رياضية أكثر تقدمًا، مثل الإحصاء والاحتمالات والرياضيات التطبيقية. وهي تسهم أيضًا في تعزيز مهارات التنظيم، والترتيب المنطقي، وتقدير الأرقام.
المراجع
- وزارة التربية والتعليم. (2021). دليل المعلم لمادة الرياضيات – الصف الخامس الابتدائي.
- بوابة المناهج التعليمية الإلكترونية – قسم البيانات والإحصاء.
- Oxford Primary Mathematics Handbook, Oxford University Press.
- Mathematics Explained for Primary Teachers – Derek Haylock.
- الدوسري، سالم. (2020). مبادئ الإحصاء للمرحلة الابتدائية. دار النهضة العربية.
