ترتيب العمليات الحسابية (أولوية العمليات)

ترتيب العمليات الحسابية (أولوية العمليات)

ترتيب العمليات الحسابية هو مجموعة من القواعد التي تحدد الترتيب الصحيح الذي يجب اتباعه عند تنفيذ العمليات الحسابية في مسألة تحوي أكثر من عملية حسابية واحدة. يُعد فهم ترتيب العمليات من المهارات الأساسية في مادة الرياضيات، لأنه يضمن الحصول على نتائج صحيحة عند إجراء الحسابات. بدون تطبيق القواعد الصحيحة لترتيب العمليات، يمكن أن نحصل على إجابات خاطئة تؤدي إلى فهم غير دقيق للمسائل الحسابية.

لنفترض أن لدينا العملية التالية: 3 + 4 × 2. إذا بدأنا بالجمع أولًا، النتيجة ستكون 14، أما إذا بدأنا بالضرب، النتيجة ستكون 11، وهي الإجابة الصحيحة وفقًا لقواعد ترتيب العمليات. هذا المثال البسيط يُظهر أهمية الالتزام بالقواعد الصحيحة لتفادي الوقوع في الأخطاء.

ما هو ترتيب العمليات؟

ترتيب العمليات هو التسلسل الذي يجب اتباعه عند حل تعبيرات حسابية تحتوي على أكثر من عملية مثل الجمع (+)، الطرح (−)، الضرب (×)، القسمة (÷)، والعمليات بين الأقواس ( ). في الرياضيات، القاعدة المتفق عليها عالميًا لترتيب العمليات تُعرف اختصارًا باللغة الإنجليزية بـ PEMDAS، وهي اختصار للكلمات التالية:

• P تعني الأقواس (Parentheses)
• E تعني الأسس أو القوى (Exponents)
• M تعني الضرب (Multiplication)
• D تعني القسمة (Division)
• A تعني الجمع (Addition)
• S تعني الطرح (Subtraction)

بينما في اللغة العربية يمكن تذكرها من خلال الجملة التعليمية: “اقرأ أولًا ما بين الأقواس، ثم القسمة والضرب، وأخيرًا الجمع والطرح”. والجمع بين الضرب والقسمة يتم من اليسار إلى اليمين حسب ترتيبهم في المسألة، وكذلك الجمع والطرح.

الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية

أولاً: العمليات داخل الأقواس

المرحلة الأولى من ترتيب العمليات تكون بحل العمليات الموجودة داخل الأقواس. إذا كان هناك أكثر من قوس أو أقواس داخلية وخارجية (أقواس متداخلة)، نبدأ بحل الأقواس الداخلية أولًا ثم الخارجية. الأقواس تُستعمل لتحديد أولويات خاصة أو فصل عمليات معينة ليست لها الأولوية تلقائيًا.

ثانيًا: الأسس أو القوى

بعد الانتهاء من الأقواس، نُجري العمليات التي تحتوي على قوى أو أسس. الأسس تعني أن العدد يُضرب في نفسه عدد مرات معينة. مثلًا: 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8. مرحلة القوى تسهم في تبسيط الأعداد الكبيرة بطريقة ميسرة.

ثالثًا: الضرب والقسمة

بعد القوى، نحل عمليات الضرب والقسمة حسب ترتيبها من اليسار إلى اليمين. هذا يعني أن الضرب لا يسبق القسمة دائمًا، والعكس صحيح. عندما يظهر الضرب والقسمة في التعبير نفسه، نُجري العملية التي تأتِ أولًا من اليسار.

رابعًا: الجمع والطرح

المرحلة الأخيرة هي الجمع والطرح، وتُطبق بنفس الأسلوب المستخدم في الضرب والقسمة: نُجري العملية التي تأتي أولًا من جهة اليسار إلى جهة اليمين. ولا يُفضل الجمع على الطرح أو العكس إلا بناءً على موقعهم في التعبير الرياضي.

أمثلة توضيحية على ترتيب العمليات

لفهم ترتيب العمليات بشكل أفضل، لننظر في بعض الأمثلة:

مثال 1:

5 + 3 × 2 = ؟

نبدأ مع الضرب: 3 × 2 = 6، ثم الجمع: 5 + 6 = 11.

مثال 2:

(4 + 2) × 3 = ؟

نبدأ بالعملية داخل القوس: 4 + 2 = 6، ثم الضرب: 6 × 3 = 18.

مثال 3:

8 + 12 ÷ 4 × 2 − 3 = ؟

أولًا القسمة: 12 ÷ 4 = 3،
ثم الضرب: 3 × 2 = 6،
ثم من اليسار: 8 + 6 = 14،
ثم الطرح: 14 − 3 = 11.

مثال 4:

(2 + 3)^2 × (4 − 1) = ؟

نبدأ بالأقواس:
(2 + 3) = 5، (4 − 1) = 3،
ثم القوة: 5^2 = 25،
وأخيرًا الضرب: 25 × 3 = 75.

كيف تساعد الأقواس في تبسيط العمليات؟

وجود الأقواس يمكن أن يغير من ترتيب العمليات تمامًا. على سبيل المثال، التعبير 2 + 3 × 4 يعطي نتيجة مختلفة عن (2 + 3) × 4. ففي الأول، نبدأ بالضرب: 3 × 4 = 12، ثم نجمع: 2 + 12 = 14. أما في الثاني، نبدأ بالأقواس: 2 + 3 = 5، ثم نضرب: 5 × 4 = 20. لذلك يجب الانتباه عند استخدام الأقواس لأنها تعدّل الأولويات الأساسية في المسألة.

في عالم المحاسبة، يُستخدم ترتيب العمليات عند تصميم برامج الحاسبة المالية. على سبيل المثال، إذا كان أحد البنوك يستخدم معادلة لحساب الفائدة المركبة فإن ترتيب العمليات يضمن أن حساب الفائدة يتم بدقة دون خطأ.

أهمية ترتيب العمليات في الحياة اليومية

ترتيب العمليات لا يُستخدم فقط في الصف الدراسي، بل له تطبيقات كثيرة في الحياة اليومية. عند البرمجة، أو في الحسابات المالية، أو حتى عند قياس الأبعاد في الهندسة والفيزياء، الالتزام بترتيب العمليات ضروري للحصول على نتائج دقيقة. فالخطأ في الترتيب قد يؤدي إلى خسائر مالية أو نتائج تجريبية غير دقيقة. كما أن البرامج الحاسوبية مثل Excel، والآلات الحاسبة، تستخدم نفس القواعد عند تنفيذ العمليات الحسابية، مما يبيّن مدى عالمية هذه القواعد.

أخطاء شائعة يجب تجنبها

من الأخطاء الشائعة التي يقع فيها الطلاب نسيان تنفيذ العمليات داخل الأقواس أولًا، أو تقديم الجمع على الضرب، وهو أمر غير صحيح. كما أن بعض الطلاب ينفذون العمليات من اليمين إلى اليسار، لكن الترتيب الصحيح داخل كل مرحلة (الجمع مع الطرح، الضرب مع القسمة) يجب أن يكون من اليسار إلى اليمين.

كما يجب عدم اجتهاد الطالب في وضع أولويات غير صحيحة بناءً على التفضيل الشخصي، فجميع العمليات لها أولوية محددة يجب الالتزام بها، وتغير ترتيبها يؤدي إلى إجابات خاطئة تمامًا.

تمارين تدريبية على ترتيب العمليات

فيما يلي بعض التمارين التي يمكن للطلاب حلها بأنفسهم لتطبيق ما تعلموه:

1. 6 + 4 × 2 = ؟
2. (3 + 5) × 2^2 = ؟
3. 10 − 2 × (6 ÷ 3) = ؟
4. 20 ÷ 2^2 + 1 = ؟
5. (4 + 1) × (2 + 3) = ؟

ينصح المدرسون بضرورة التدرّب المستمر على هذه العملية، لأنها تقوي التفكير التحليلي والمنطقي لدى الطالب، وتُعد مدخلًا رئيسيًا لفهم الجبر والهندسة لاحقًا في المراحل الدراسية الأعلى.

اختصارات لمساعدة الذاكرة

لمساعدة الطلبة على تذكر ترتيب العمليات، يمكن استخدام الجملة الإنكليزية الصغيرة المشهورة: “Please Excuse My Dear Aunt Sally”، والتي تدل على PEMDAS (الأقواس → الأسس → الضرب والقسمة → الجمع والطرح).

أما باللغة العربية، فيُنصح بعبارة “فِكر أولًا داخل الأقواس، ثم اسأل عن القوى، ثم نفّذ الضرب أو القسمة من اليسار إلى اليمين، وأخيرًا اجمع أو اطرح”.