التقريب والتقدير في الرياضيات

يُعتبر التقريب والتقدير من المهارات الأساسية في مادة الرياضيات، ويلعبان دورًا مهمًا في الحياة اليومية للطلبة وللناس جميعًا. يساعد التقريب في تسهيل العمليات الحسابية المعقدة، ويُستخدم التقدير لتكوين فكرة تقريبية عن النتائج دون الحاجة إلى إجراء الحسابات الدقيقة. تُمكن هذه المهارات الطلاب من فهم الأعداد والكمية بشكل أفضل، كما تُستخدم أيضاً في التخطيط واتخاذ القرارات، سواء في البيئة الدراسية أو في مواقف الحياة اليومية.

ما هو التقريب؟

التقريب هو عملية تعديل عدد معين ليصبح أقرب عدد سهل التعامل معه، وذلك بناءً على قواعد محددة. يُستخدم التقريب بهدف تسهيل العمليات الحسابية، خاصة عند التعامل مع الأعداد الكبيرة أو الكسور أو القيم العشرية الطويلة. يعتمد التقريب غالبًا على خانات الرقم (الآحاد، العشرات، المئات…)، ويهدف إلى إعطاء قيمة قريبة من الرقم الأصلي، دون أن تكون مطابقة له، لكن تُعتبر مفيدة عند عدم الحاجة إلى الدقة التامة.

قواعد التقريب

عند تقريب عدد إلى أقرب عشرة أو مئة أو ألف، نستخدم قاعدة بسيطة تعتمد على الرقم الموجود في الخانة التي تسبق الخانة المراد التقريب إليها:

• إذا كان الرقم في الخانة التي تسبق خانة التقريب أقل من 5، يُبقَى الرقم كما هو وتُستبدل الخانات التالية بأصفار.
• إذا كان الرقم في الخانة التي تسبق خانة التقريب 5 أو أكبر، يُضاف 1 إلى الرقم في خانة التقريب وتُستبدل الخانات التالية بأصفار.

على سبيل المثال، في حال أردنا تقريب العدد 347 إلى أقرب عشرة، ننظر إلى الرقم 7 (الوحدة)، وبما أنه أكبر من أو يساوي 5، نضيف 1 إلى الرقم في خانة العشرات (4) فيصبح 5، ونستبدل الرقم 7 بـ 0، فيصبح الناتج النهائي 350.

في الحياة الواقعية، عندما تطلب عائلة بيتزا بـ 59 ريالاً، ويملك الوالد 60 ريالاً، يمكنه تقريبيًا أن يعرف أنه يستطيع دفع المبلغ بسهولة دون الحاجة لحساب الفروق الدقيقة، لأن 59 تقترب من 60.

أهمية التقريب في الحياة اليومية

يُستخدم التقريب في مواقف عديدة في الحياة اليومية، مثل التقدير السريع لأسعار المنتجات أثناء التسوق، أو عند حساب الوقت اللازم للوصول إلى مكان معين، أو عند التعامل مع كميات كبيرة مثل عدد السكان أو المسافات بين المدن. مثلاً، بدلًا من أن نقول “المسافة من مدينة الرياض إلى جدة هي 952 كيلومترًا”، يمكننا تقريبها ونقول “حوالي 950 كيلومترًا”. يساعد هذا في التواصل السريع دون الحاجة لتفاصيل دقيقة قد لا تكون ضرورية.

ما هو التقدير؟

التقدير هو عملية إعطاء قيمة تقريبية لشيء ما دون استخدام أدوات دقيقة للحساب. وهو مهارة مهمة تُستخدم لتحديد نتائج تقريبية بسرعة. يساعد التقدير في اتخاذ قرارات سليمة بسرعة، ويُنمي لدى الطلاب القدرة على التفكير النقدي والتحليلي. كثيرًا ما يُستخدم التقدير في مسائل الضرب، القسمة، الجمع والطرح، خاصة عندما يكون من غير الضروري الوصول إلى نتائج دقيقة.

أنواع التقدير

يمكن تقسيم التقدير إلى عدة أنواع رئيسية، منها:

• التقدير العقلي: ويعني التقدير السريع باستخدام العقل فقط، دون الحاجة للقلم والورقة أو الآلة الحاسبة.
• التقدير بالتقريب: يعني استخدام قواعد التقريب للوصول إلى تقدير تقريبي للنتيجة، وغالبًا ما يُستخدم في مسائل الجمع والطرح.
• التقدير بالتقريب إلى مضاعفات: يُستخدم عند تقريب الأعداد إلى أقرب مضاعف لعدد معين للحصول على نتائج تقريبية في مسائل الضرب والقسمة.

الفرق بين التقريب والتقدير

رغم التشابه بين التقريب والتقدير، إلا أن هناك فرقًا بين المفهومين. فالتقريب يُعنى بتغيير الرقم أو القيمة إلى رقم آخر أقرب وأسهل في الاستخدام بناءً على قواعد محددة، بينما التقدير هو إعطاء نتيجة تقريبية دون الالتزام بقواعد رياضية صارمة. التقريب عادةً ما يُستخدم كخطوة للوصول إلى تقدير دقيق. على سبيل المثال، إذا أردنا تقدير مجموع 398 + 243، يمكننا تقريب 398 إلى 400 و243 إلى 240 ثم نقوم بعملية الجمع التقديري: 400 + 240 = 640.

التقريب إلى أقرب عشرة، مئة، ألف

يبدأ التقريب بتحديد الخانة التي نرغب في التقريب إليها. يمكن تقريب الأعداد إلى:

• أقرب عشرة: مثال، العدد 76 يُقرب إلى 80؛ لأن 6 أكبر من 5.
• أقرب مئة: العدد 385 يُقرب إلى 400؛ لأن 85 أكبر من 50.
• أقرب ألف: العدد 3489 يُقرب إلى 3000؛ لأن الرقم في خانة المئات (4) أقل من 5.

كلما زادت الخانة التي نقرب إليها، قلت الدقة لكنها زادت الكفاءة في الإجابة السريعة والتقدير.

تقريب الأعداد العشرية

يمكن أيضًا تقريب الأعداد العشرية إلى أقرب عدد صحيح أو أقرب جزء عشري (مثل أقرب عشرة أو مئة من الجزء العشري). ويكون ذلك بالنظر إلى الرقم الذي يلي الخانة المطلوب التقريب إليها:

• العدد 5.68 يُقرب إلى 6، لأن 0.68 أقرب إلى 1 من 0.
• إذا أردنا تقريب 4.73 إلى أقرب جزء من عشرة، ننظر إلى الرقم في المئة (3)، وهو أقل من 5، لذا يبقى الرقم كما هو 4.7.

يُستخدم تقريب الأعداد العشرية في قياس الأطوال، الأوزان، درجات الحرارة، والعديد من التطبيقات في العلوم والهندسة.

في حالة الطقس، عندما تُعلن درجات الحرارة، يتم تقريبها غالبًا لأقرب درجة لتسهيل الفهم، مثلًا: 23.7 درجة تُذكر على النشرة الجوية كـ 24 درجة.

تقريب الكسور

يُستخدم تقريـب الكسور لتبسيط العمليات الحسابية، خاصة في مراحل المدرسة الابتدائية. يمكن تقريب الكسور إلى 0، 1/2 أو 1 اعتمادًا على قيمة الكسر:

• الكسر 1/9 يُقرب إلى 0، لأنه صغير جدًا.
• الكسر 5/8 يُقرب إلى 1، لأنه قريب منها.

تُساعد طريقة التقريب هذه في تقريب نتائج الجمع والطرح بين الكسور إلى نتيجة تقريبية سلسة للتعامل.

أهمية التقدير في اتخاذ القرار

التقدير مهارة حياتية ضرورية. فعند الذهاب للتسوق ومعرفة الميزانية المتوفرة، يُستخدم التقدير لمعرفة المبلغ الإجمالي للمشتريات قبل الوصول إلى صندوق الدفع. كما يُستخدم في تقدير الزمن اللازم لإنهاء الواجب المدرسي، أو كم ساعة نحتاج للنوم لنكون نشطين في اليوم التالي. لذا، فإن مهارة التقدير تساعد التلاميذ في تنمية القدرة على التخطيط والتفكير العقلاني.

في المطبخ، إذا كانت الوصفة تحتاج إلى 1.9 لتر من الماء وليس لدينا سوى وعاء بسعة 2 لتر، نقدر أن الكمية ستكفي دون قياس دقيق، مما يوفر الوقت والجهد.

أمثلة تطبيقية في الصفوف الدراسية

يُستخدم التقريب والتقدير بكثافة في الصفوف من الأول إلى السادس الابتدائي، مع تدرج في المستوى. في الصف الأول، يبدأ التعلم بتقريب الأعداد إلى أقرب عشرة. ومع التقدم في الصفوف، يبدأ الطلاب بتقريب الأعداد الأكبر، والأعداد العشرية والكسور، واستعمال مهارات التقدير لحساب عمليات الجمع والطرح وحتى مسائل من الحياة الواقعية.

مثلاً، في مرحلة الصف الرابع يتم إعطاء المسائل التالية:

• “قدر مجموع 297 و163 ثم تحقق من إجابتك باستخدام الحساب الدقيق.”
• “كم تقريبا تحتاج لتنهي قراءة 120 صفحة إذا كنت تقرأ 30 إلى 35 صفحة يوميًا؟”

مثل هذه التمارين تساعد التلاميذ على الجمع بين المهارات العقلية المباشرة واستعمال مفهوم التقدير والتقريب لفهم العمليات بشكل أفضل.

أخطاء شائعة عند التقريب والتقدير

بعض الطلاب يقعون في أخطاء أثناء استخدام التقريب أو التقدير. من الأخطاء الشائعة:

• نسيان القاعدة الأساسية لتقريب الأعداد وقول عدد خاطئ.
• الخلط بين التقريب والتقدير، ومحاولة إيجاد جواب دقيق عند استخدام التقدير.
• تقريب الرقم إلى الخانة الخاطئة (مثلاً تقريب العدد إلى أقرب عشرة بدل المئة).

لحل هذه المشكلات، يجب التدريب المستمر، والفهم الواضح لقواعد التقريب والهدف من التقدير، والتمييز بين متى نحتاج إلى إجابة دقيقة ومتى تكون القيمة التقريبية كافية.

قائمة المراجع

• وزارة التعليم السعودية – مقرر الرياضيات للمرحلة الابتدائية
• كتاب الطالب رياضيات – الصف الرابع والخامس والسادس الابتدائي
• National Council of Teachers of Mathematics – Estimation Skills for Grades K–6
• BBC Bitesize Maths – Estimating and Rounding
• Mathisfun.com – Estimation and Rounding